[理學]35向量與矩陣的范數(shù)(已修改)
2024-10-26 17:21 本頁面
【正文】 1/35 計算方法 三 ⑤ 上節(jié)課回顧 直接法 是通過有限步運算后得到線性方程組的解 .包含 :高斯消元法 (列主元消去法 )、三角分解法、追趕法 . 解線性方程組的所有直接的方法比較適用于中小型方程組 .對高階方程組 ,即使系數(shù)矩陣是稀疏的 ,但在計算中很難保持稀疏性 ,因而有存儲量大，程序復雜等不足，這些不足之處可用迭代法來彌補解決 . 線性方程組 AX=b LY=b UX=Y A=LU 列主元素法 的精度雖稍低些 ,但 計算簡單 ,且具有良好的數(shù)值穩(wěn)定性。 三角分解法 2/35 計算方法 三 ⑤ 迭代過程中經(jīng)常要遇到向量范數(shù)，矩陣范數(shù)以及序列極限的概念。為此，下面先介紹這方面的知識和有關(guān)概念。 向量與矩陣的范數(shù) 一 、 . 向量范數(shù) ： 對 n維實空間 Rn中 任一向量 X ， 按一定規(guī)則有一確定的實數(shù)與其相對應(yīng)，該實數(shù)記為 ||X||， 若 ||X||滿足下面三個性質(zhì)： (1)(非負性 )||X||?0， ||X||=0當且僅當 X=0。 (2)(齊次性 )對任意實數(shù) ? ， || ? X||=| ? | ||X||。 (3)(三角不等式 )對任意向量 Y?Rn， ||X+Y||?||X||+||Y|| 則稱該實數(shù) ||X||為向量 X的范數(shù) 3/35 計算方法 三 ⑤ 幾種常用的向量范數(shù) ：設(shè) X=(x1,x2,...,xn)T （ 1）向量的 1— 范數(shù)： ||...|||||||||| 2111 nnii xxxxX ????? ??（ 2）向量的 2— 范數(shù)： 22221122 ...|||| nnii xxxxX ????? ??（ 3）向量的 ∞— 范數(shù)： ||ma x||||1 inixX????（ 4）向量的 p— 范數(shù)： pnipip xX ???1||||||(1≤p≤∞) 4/35 計算方法 三 ⑤ 例 ：設(shè) x=(1 , 4, 0, 2)T 求它的向量范數(shù) ???nkkxX11 ???niixX122||||||ma x||||1 inixX????pnipip xX ???1||||||=7 21?=4 p pp 241 ???注：前三種范數(shù)都是 p— 范數(shù)的特殊情況。其中 pp XX ||||lim|||| ??? ?5/35 計算方法 三 ⑤ 向量范數(shù)的連續(xù)性 : 定理 設(shè) f(X)=||X||為 Rn上的任一向量范數(shù) ,則 f(X)為 X的分量 x1,x2,…, xn的連續(xù)函數(shù) . 定理 若 ||X||p與 ||X||q為 Rn上 任意兩種范數(shù) ，則存在 C1， C20，使得對任意 X∈ Rn，都有： C1 ||X||p≤ ||X||q ≤C2 ||X||p （證明略） 注：同樣有下列結(jié)論：存在 C3,C40 使得： C3 ||X||q≤ ||X||p ≤C4 ||X||q 向量范數(shù)的等價性 注：上述性質(zhì)，稱為向量范數(shù)的 等價性 。也就是說， Rn上任意兩種范數(shù)都是等價的。 在討論向量序列的收斂性時要用到向量范數(shù)的等價性。 6/35 計算方法 三 ⑤ 向量序列的收斂問題 定義 ：假定給定了 Rn空間中的向量序列X(1),X(2),...,X(k),...，簡記為 {X(k)}，其中X(k)=(x1(k),x2(k),...,xn(k))T，若 X(k)的每一個分量 xi(k)都存在極限 xi，即 則稱向量 X= (x1， x2， ...， xn)T為向量序列{X(k)}的極限，或者說向量序列 {X(k)}收斂于向量 X，記為 )(lim )()( ??????kXXXX kkk或), . . . ,2,1(lim )( nixx ikik????7/35 計算方法 三 ⑤ ? ?? ?? ?? ? ???????????????knkkkxxxX?21x1 x2 xn ………… ? ?? ?? ?? ?XxxxxxxXnknkkk?????????????????????????????????2121(k→∞
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