[理學(xué)]35向量與矩陣的范數(shù)-在線瀏覽
2024-12-01 17:21本頁面
【正文】 |||||(1≤p≤∞) 4/35 計(jì)算方法 三 ⑤ 例 ：設(shè) x=(1 , 4, 0, 2)T 求它的向量范數(shù) ???nkkxX11 ???niixX122||||||ma x||||1 inixX????pnipip xX ???1||||||=7 21?=4 p pp 241 ???注：前三種范數(shù)都是 p— 范數(shù)的特殊情況。也就是說， Rn上任意兩種范數(shù)都是等價(jià)的。 6/35 計(jì)算方法 三 ⑤ 向量序列的收斂問題 定義 ：假定給定了 Rn空間中的向量序列X(1),X(2),...,X(k),...，簡(jiǎn)記為 {X(k)}，其中X(k)=(x1(k),x2(k),...,xn(k))T，若 X(k)的每一個(gè)分量 xi(k)都存在極限 xi，即 則稱向量 X= (x1， x2， ...， xn)T為向量序列{X(k)}的極限，或者說向量序列 {X(k)}收斂于向量 X，記為 )(lim )()( ??????kXXXX kkk或), . . . ,2,1(lim )( nixx ikik????7/35 計(jì)算方法 三 ⑤ ? ?? ?? ?? ? ???????????????knkkkxxxX?21x1 x2 xn ………… ? ?? ?? ?? ?XxxxxxxXnknkkk?????????????????????????????????2121(k→∞) (k→∞) 8/35 計(jì)算方法 三 ⑤ 例 ：設(shè) ???????????????????????)(2)(1)(11kkkxxkkkX解 : 顯然，當(dāng) k→∞ 時(shí)， 01)(1 ??kx k 11)(2 ??? kkx k???????????? 10l im )( kkX9/35 計(jì)算方法 三 ⑤ 注：顯然有： ? ? 0limlim )()( ????????XXXX kkkk0||||l i ml i m )()( ???? ?????XXXX kkkk由無窮范數(shù)的定義知：||ma x||||1 inixX????定理 在空間 Rn中，向量序列 {X(k)}收斂于向量X的充要條件是對(duì) X的任意范數(shù) ||||，有： 0||||lim )( ????XX kk二、 矩陣范數(shù) ：設(shè) A是 n?n 階矩陣， A∈ Rn n X∈ Rn， ||X||為 Rn中的某范數(shù)，稱 ||AX||||X||||AX||nn RX,||X||||X||RX ?????10m a xm a x為矩陣 A的 從屬于 該 向量范數(shù) 的 范數(shù) ，或稱為矩陣 A的 算子 ，記為 ||A||。(||||||||m a x||||)2(m a x220||||2 ）AAXAXA TXRX n?????(λ為 ATA的特征值中絕對(duì)值最大者 ) ||m a x||||||||m a x||||)3(110||||????????? ??njijniXRXaXAXAn(又稱為 A的 行范數(shù) ) 列元素絕對(duì)值之和的最大值 行元素絕對(duì)值之和的最大值 12/35 計(jì)算方法 三 ⑤ 例：設(shè) A= ??????????4321 求 A的各種范數(shù) 解： ||A||1=6， ||A||∞=7 2 115|||| 2 ???? ?A???????????2021141039。fro39。fro39。2,3,4,1。4,1,2,9]。, . . . ,2,1lim )( njniaa ijkijk?????則稱矩陣序列 {A(k)}收斂于矩陣 A=(aij)，記為 AA kk ??? )(lim? ?? ? ? ?? ? ? ? ?????????kkkkkaaaaA22211211a11
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