矩陣的特征值與特征向量畢業(yè)論文-在線瀏覽
2024-08-07 21:50本頁面
【正文】 質(zhì)、定理及對角化..................................................7 求實(shí)對稱矩陣的特征值與特征向量............................................93 矩陣的特征值與特征向量的舉例應(yīng)用..........................................10 用特征值理論求解Fibonacci數(shù)列通項(xiàng)......................................11 在研究經(jīng)濟(jì)發(fā)展與環(huán)境污染中的應(yīng)用.........................................124 結(jié)論..............................................................................................15參考文獻(xiàn)..................................................................................................16致謝.........................................................................................................17引言 矩陣是高等代數(shù)課程的一個(gè)基本概念，是研究高等代數(shù)的基本工具。求解矩陣的特征值和特征向量，是高等數(shù)學(xué)中經(jīng)常碰到的問題。特征多項(xiàng)式和特征根在整個(gè)矩陣?yán)碚擉w系中具有舉足輕重的作用，并且在實(shí)際中也有廣泛的應(yīng)用。 (1) 式也可寫成， () 這是個(gè)未知數(shù)個(gè)方程的齊次線性方程組，它有非零解的充分必要條件是系數(shù)行列式 () 即 上式是以λ為未知數(shù)的一元次方程，稱為方多項(xiàng)式陣的特征方程。 =|A－λE|= 顯然，的特征值就是特征方程的解。因此，階矩陣有個(gè)特征值。方程的每一個(gè)非零解向量都是相應(yīng)于的特征向量，于是我們可以得到求矩陣的全部特征值和特征向量的方法如下： 第一步：計(jì)算的特征多項(xiàng)式； 第二步：求出特征方程的全部根，即為的全部特征值； 第三步：對于的每一個(gè)特征值，求出齊次線性方程組： 的一個(gè)基礎(chǔ)解系則的屬于特征值的全部特征 向量是 。如果對應(yīng)中的一個(gè)數(shù)，存在中的非零向量，使得 ()那么就叫做的一個(gè)特征值，而叫做的屬于特征根的一個(gè)特征向量。其中（1）式的幾何意義是：特征向量與它在下的象保持在同一直線L（ξ）上，時(shí)方向相同，時(shí)方向相反，時(shí)，．例1 在V3中，是關(guān)于過原點(diǎn)的平面H的反 射，它是一個(gè)線性變換。與H垂直的非零向量都是的屬于特征值 1的特征向量，即V1就是直 線L（見圖1）。 證明 設(shè)是矩陣的不同特征值，而分別是屬于 的特征向量，要證是線性無關(guān)的。 當(dāng)時(shí),由于特征向量不為零,所以結(jié)論顯然成立。 由于是的不同特征值,而是屬于的特征向量,因此 如果存在一組實(shí)數(shù)，使 () 則上式兩邊乘以得 () 另一方面, ,即 ()(4)－(5)有 。于是（）變?yōu)? 因,于是。 求解矩陣的特征值與特征向量的方法 在求矩陣的特征值與特征向量之前，我們來討論一下特征值與特征向量的關(guān)系，它們的關(guān)系如下：（1）如果關(guān)于某個(gè)基的矩陣是,那么的特征值一定是的特征根，但的特征根卻不一定是特征值，的個(gè)特征根中屬于數(shù)域F的數(shù)才是的征特值；（2）的特征向量是V中滿足（1）式的非零向量ξ，而A的特征向量是中的滿足的非零列向量；（3）若λ∈F是A的特征根，則A的中屬于λ的就是的λ屬于的特征向量關(guān)于給定基的坐標(biāo)。定理1 設(shè)是秩為的階矩陣，且
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