【正文】 , ?n), ? = diag(?1, ?2,…, ?n), 則 P–1AP = ? . 證明 : 設(shè) P–1AP = ?= diag(?1, ?2, …, ?n), ? AP = Pdiag(?1, ?2, …, ?n), 即 ? A(?1, ?2, …, ?n) = (?1?1, ?2?2, …, ?n ?n), ? A?i = ?i?i , i=1,2,…, n 第四章 矩陣的特征值和特征向量 167。 相似矩陣 方陣 A的 相似對角化問題 : 求 可逆陣 P, 使 P –1AP=?. 其中，對角陣 ?稱為 相似標(biāo)準(zhǔn)形 . 相似關(guān)系下的不變量： 矩陣的秩 , 行列式 , 跡 相抵關(guān)系下的不變量：矩陣的秩 相抵關(guān)系下的最簡形：相抵標(biāo)準(zhǔn)形 相似關(guān)系下的最簡形： 相似標(biāo)準(zhǔn)形 ? 1. 定義 ? ? = ? n階方陣 非零 向量 特征值 (eigenvalue) 特征向量 (eigenvector) 對應(yīng) 167。 特征值與特征向量 1221A??? ????eigshow(A) 3y A x x??顯示不同的單位向量 x及經(jīng)變換后的向量 y=Ax 11x???????y A x x? ? ?11x????????? 特征值和特征向量 ： ???0, . A? = ?? 第四章 矩陣的特征值和特征向量 167。 特征值與特征向量 定理 . n階 方陣 A與 對角陣相似 ? ?n個 線性無關(guān) 的向量 ?1,…, ?n和 n個數(shù) ?1,…, ?n滿足 A?i = ?i?i , i=1,…, n. 第四章 矩陣的特征值和特征向量 167。 特征值與特征向量 ? A? = ?? (?E–A)? = 0 |?E–A| = 0 特征方程 = ?–a11 –a12 … –a1n –a21 ?–a22 … –a2n … … … … –an1 –an2 … ?–ann 特征多項(xiàng)式 特征值 特征向量 ? ? ? 對每個 ?, 求 (?E–A)x = 0的基礎(chǔ)解系 ?1, ?2,? ,?t 對應(yīng)于 ?的 所有特征向量為 k1? 1+k2?2+? +kt?t , k1,? , kt 不全 為 0. 2. 計(jì)算 先解 |?E–A|=0, 求出 所有特征值 ?, 解 : 21 1 2 121 2 2 2212nnn n na a a a aa a a a aAEa a a a a?????????21121 1 2 100nnaaaaa a a a a????????121 2 11120000inininaiaia a a a acc???????????112, ,iiarrain??? ?1nT?? ? ?? ? ? ?所以 A的全部特征值為 0(n?1重根 ), T??例 3. 設(shè) ??0, ??Rn, 求 A=??T的特征值和特征向量 . 第四章 矩陣的特征值和特征向量 167。 特征值與特征向量 對應(yīng) ?=0的 特征向量為 1111 ,nnkk??????11, nkk ?不全 為 0 此時，線性無關(guān)的特征向量只有一個 . 解 : 當(dāng) ?= ?T?時 , (?T? E?A) x = 0. 因?yàn)?Ax = x. T?? 即 x = x. T??T??注意到 TTA ? ? ? ? ? ? ? ? ????所 以 ?即為 A的對應(yīng)特征值 ? = ?T?的 特征向量 . ? ?0n kk????所 以只要找一個非零向量滿足上述方程即可 . 例 3. 設(shè) ??0, ??Rn, 求 A=??T的特征值和特征向量 . 第四章 矩陣的特征值和特征向量 167。 特征值與特征向量 ?n, ?n1項(xiàng)只在主對角線乘積中 ? ?11( ) + 1n nnniiiaA??? ? ? ????二 . 特征值、特征向量的 性質(zhì) 性質(zhì) 1. 設(shè) ?1, …, ?n(實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù) , 可重復(fù) )是 n階方 陣 A=(aij)的 n個 特征值 , 即 |?E–A| = (?–?1) (?–?2)…( ?–?n)，則 ? ?i = trA = ? aii n i =1 n i =1 ? ?i = detA = |A| n i =1 證明： |?E–A| = (?–?1) (?–?2)…( ?–?n) 第四章 矩陣的特征值和特征向量 167。 特征值與特征向量 A的特征值均不為 0. ? ?第四章 矩陣的特征值和特征向量 167。 特征值和特征向量 性質(zhì) 5. 設(shè) ?是方陣 A的 一個特征值 , f是一個 多項(xiàng)式 , 則 f(?)是方陣 f(A)的 一個特征值 . 對于 f(?) = as?s+? +a1?+a0, f(A)? = asAs? +? +a1A?+a0? = as?s?+? +a1??+a0? = f(?)?, ? ???0 使 f(A)? = f(?)?. 則 f(?)是方陣 f(A)的 一個特征值 . 第四章 矩陣的特征值和特征向量 167。 特征值和特征向量 推論 2. 若 f是多項(xiàng)式 , A是 一個 方陣 , 使 f(A) = O 則 A 的任 一特征值 ? 必滿足 f(?) = 0. 注 1: A的零化多項(xiàng)式的根是 A的所有 可能 的特征值 . 例 5. 若 A2 = E, 求 A的所有 可能 的特征值 . A 的任 一特征值 ?都是 零化 多項(xiàng)式的根 . ?1=?2 =1 ?1=?2 = ?1 ?1=1, ?2 = ?1 解：由 A2 ? E= 0知 , f(x) = x2?1為 A一個零化多項(xiàng)式 . ?f(x) = x2?1=0 的 根 1,?1為 A的所有 可能 的特征值 . 注 2: A的零化多項(xiàng)式的根 未必 都是 A的特征值 . 例 6. f(x) = x2?1, 根為 1, ?1 A1 = 1 0 0 1 , A2 = ?1 0 0 ?1 , A3 = 0 1 1 0 . 第四章 矩陣的特征值和特征向量 167。 特征值和特征向量 A = 1 0 1 1 , B = 1 0 0 1 , ?|?E–A|=|?E–B| 特征多項(xiàng)式相同是相似的 必要而非充分 的條件 . 注 4. 方陣 A與 B相似 ?特征多項(xiàng)式和特征值相同 ? tr(A) = tr(B), |A| = |B| ? r(A) = r(B) 相似關(guān)系下的不變量為： 特征值 , 跡 , 行列式 , 秩 相抵關(guān)系下的不變量為： 秩 相抵關(guān)系下的最簡形為： 相抵標(biāo)準(zhǔn)形 相似關(guān)系下的最簡形為： 第四章 矩陣的特征值和特征向量 167。 將 ?代入 (?E–A)?=0, 求 非零通解 . ? ?i = trA = ? aii n i =1 n i =1 ? ?i = detA = |A| n i =1 ?設(shè) ?是 A的 特征值 ,則 f(?)是 f(A)的 特征值 . 注 :A的 零化多項(xiàng)式 的根 可能是 但未必都是 A的特征值 . A 的任 一特征值 ?都是 零化 多項(xiàng)式的根 . ?A可逆 ?A的特征值均不為 0, 1/?是 A?1的特征值 . ??是 可逆陣 A的 特征值 , 則 |A|/?是 A*的特征值 . ?若 ?是 方陣 A的 特征值 , 則 ?也是 AT 的特征值 . 例 3階矩陣 A的特征值為 2,1,?1,則 解： 1 ?AA ???? ?2 1 1 2 0A ? ? ? ? ? ? ?? A可逆 ??是 可逆陣 A的 特征值 , 則 1/? 是 A?1的特征值 . ? (? + 1/? ) 是 (A+A?1) 的特征值 . ? (A+A?1) 的特征值為： 5 , 2, 22 ?? ?1 5 2 2 1 02AA ?? ? ? ? ? ? ? ?例 3階矩陣 A的特征值為 1,2,3, 則 trB?*2??B E A1 2 3 6A ? ? ? ? *1A A A ?? *2? ? ?B E A2 1211iiA??? ? ?的特征值為 即 ?11,?5,?3 19trB? ? ?第四章 矩陣的特征值和特征向量 167。 由 A? =?? 得齊次線性方程組 (?E–A)? =?, 它有 非零 解 ? |?E–A|=0 ? ?E–A不可逆 ?若 A為方陣 , ?是 A的一個特征值 ? (?E?A)不可逆 . ?A為方陣 , ?不是 A的特征值 ? (?E?A)可逆 . 例 3階矩陣 A的特征值為 ?2,1,4,則可逆的矩陣 : (A) E?A (B) 4E?A (C) 2E?A (D) 2E+A 例 A不可逆，則 A的一個特征值為 ( ) 0 例 A滿足 A2=2A,0不是 A的特征值 ,則 A= A可逆 A = 2E 第四章 矩陣的特征值和特征向量 167。 方陣的特征值和特征向量 (1學(xué)時 ) 167。 方陣可相似對角化的條件 (1學(xué)時 ) 167。 方陣可相似對角化的條件 167。 方陣可相似對角化的條件 第四章 矩陣的特征值和特征向量 167。 矩陣可相似對角化的條件 定理 . ?1, ?2, …, ?s 不同值 {?11, …, ?k1 , ?12, …, ?k2 , …, ?1s, …, ?ks } 1 2 s ?1 ?1,…, ?s . ?1, …, ?r . ?2 A ? {?1, …, ?s, ?1, …, ?r}線性無關(guān) . . . 線性 無關(guān) 命