相似矩陣與矩陣可對角化的條件(已修改)
2025-10-25 18:08 本頁面
【正文】 山東財經(jīng)大學(xué)數(shù)學(xué)與數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院 相似矩陣的概念 167。 相似矩陣 矩陣的相似關(guān)系的性質(zhì)： 。~:)1( AA反身性。~,~:)2( ABBA 則若對稱性.~,~,~:)3( CACBBA 則若傳遞性.~:,1 BABABAPPPnnBA記作相似與則稱使階可逆矩陣若存在階矩陣都是與設(shè)??定義 山東財經(jīng)大學(xué)數(shù)學(xué)與數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院 相似矩陣的性質(zhì) .,~ 進(jìn)而行列式相等有相同的特征值與則若 BABA.,~ 1 BAPPPBA ??使故存在可逆矩陣因證明APPEPPAPPEBE 111,??? ????? ???于是? ? APPPEP 11 ?? ?? ?.1 AEPAEP ?????? ? ??.,值和行列式從而有相同的特征有相同的特征多項式與即 BA性質(zhì) 山東財經(jīng)大學(xué)數(shù)學(xué)與數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院 .~,~ 1! ?? BABABA 且也可逆則可逆且若則使存在可逆矩陣知由證明 ,~ 1 APPBPBA ??,)( 11111 PAPAPPB ????? ??.~ 11 ?? BA即性質(zhì) 山東財經(jīng)大學(xué)數(shù)學(xué)與數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院 ).(~,~ 為正整數(shù)則若 mBABA mm則使存在可逆矩陣知由證明 ,~ 1 APPBPBA ??mm APPB )( 1??????? ?????? ?? ?個mAPPAPPAPP )())(( 111 ????.1 PAP m??.~ mm BA故性質(zhì) 山東財經(jīng)大學(xué)數(shù)學(xué)與數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院 矩陣可對角矩陣的條件 .個線性無關(guān)的特征向量有是的充要條件相似于對角矩陣階矩陣nAAn ?,: 1 ??? APPP 使設(shè)存在可逆矩陣必要性證明??????????????n????21其中 定理 山東財經(jīng)大學(xué)數(shù)學(xué)與數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院 ? ? 則令 , 21 nP ??? ???????????????nnnA????????????212121 ),(),(),(),( 221121 nnnAAA ????????? ?? ?即).,2,1( niA iii ??? ???., 21 線性無關(guān)故可逆因 nP ??? ?山東財經(jīng)大學(xué)數(shù)學(xué)與數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院 ,,:2121nnnA????????對應(yīng)的特征值依次為個線性無關(guān)的特征向量有設(shè)充分性).,2,1( niA iii ??? ???即且可逆則令 ,),( 21 PP n???
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