[理學(xué)]ch7特征值與特征向量(已修改)
2025-01-31 14:39 本頁面
【正文】 引入 特征值與特征向量的動機(jī) 1. 旋轉(zhuǎn)變換的軸 2. 橢圓的軸 3. 矩陣對角化 4. 研究線性變換 特征值與特征向量的引入 定義 Ａ 為ｎ階方陣， x為向量 稱為一個(gè)從 x到 y的 一般來說， x,y沒有太多關(guān)系。但有時(shí)它們成比例。 yxA?的線性變換。 A xx??( ) 0A E x?? ? ??此 時(shí) | A E | = 0A x E x????x 是 （ A E ） x =0 的 非 零 解3 1 1 21 3 1 2?? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?3 1 1 121 3 1 1?? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?3 1 12103111 0? ?? ? ? ??? ? ? ???? ? ? ? ????? ? ? ? ????? ?? ???3 1 1 1 121 3 1 011??? ? ? ??? ? ? ???? ? ? ? ??xxA ???欲 解 先 解 |A， E|=0?再 解 (A E) x= 0 的 非 零 解 x特征值與特征向量的概念 定義 Ａ 為ｎ階方陣， 是一個(gè)關(guān)于 稱為 Ａ 的 特征方程， ()f E A???? ?的 n次多項(xiàng)式，稱為 A的 特征多項(xiàng)式。 ( ) 0f ? ?的根稱為 Ａ 的 特征值 . ( ) 0f ? ?解 例 1 .31 13 的特征值和特征向量求 ?????????A的特征多項(xiàng)式為A3113?????2 1( 3 )????)2)(4(68 2 ???? ??????.4,2 21 ?? ??的特征值為所以 A()f E A????定義 Ａ 為ｎ階方陣 ,λ 為特征值， ? 為ｎ維非零向量， ( 0)AA E?? ? ? ??? ? ?若 則 ? 稱為 Ａ 的對應(yīng)特征值 λ的 特征向量 ． 解 例 1 .31 13 的特征值和特征向量求 ?????????A12 2 , ????的 特 征 值 為111222,3 2 1 0,1 3 2( 2 )0AE xx? ?? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ??當(dāng) 時(shí) 對 應(yīng) 的 特 征 向 量 應(yīng) 滿 足121 1kxx?? ????? ??????解 得1 11 2 .1p?????????所 以 對 應(yīng) 的 特 征 向 量 可 取 為矩陣的特征向量總是相對于矩陣的特征值的 ,001111,00431143,421212???????????????????????????????????????????????xxxx即由時(shí)當(dāng) ?1 2 22,41 .1xxp?? ? ????? ????解 得 所 以 對 應(yīng) 的 特 征 向 量 可 取 為事實(shí) : 階上三角陣 n12***nabcA????????????12, , , .nn ? ? ?的 個(gè) 特 征 值 是則 和 有相同的特征值． 性質(zhì) 76 TA A例３ 設(shè) ,314020112?????????????A求 A的特征值與特征向量． 解 ???????????314020112EA? ? ,2)1( 2???? ??.2,1 321 ???? ???的特征值為得 A? ?1 , A E x? ? ?? ?當(dāng) 時(shí) 解 方 程 由,000010101414030111~?????????? ??????????????? EA ,1011???????????p得基礎(chǔ)解系的全體特征向量為故對應(yīng)于 11 ??? ).0( 1 ?kpk? ?23 , 2 A E x?? ? ?? ?當(dāng) 時(shí) 解 方 程 由,0000001141140001142 ~?????????? ??????????????? EA得基礎(chǔ)解系為： ,401,11032??????????????????????? pp :232 的全部特征向量為所以對應(yīng)于 ?? ??).0,( 323322 不同時(shí)為kk pkpk ?注 2 并不一定唯一； ,??3 ｎ階方陣 Ａ 的 特征方程 ，是 以 1 特征向量 ，特征值問題只針對與方陣； 0? ?0EA? ??性質(zhì) 71 ｎ階方陣 有且只有 n個(gè)特征值（ k重特征值算 k個(gè)） λ為未知數(shù)的一元ｎ次方程
教學(xué)課件相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號-1