[理學]ch7特征值與特征向量-展示頁
2025-01-28 14:39本頁面
【正文】 求 A的特征值與特征向量． 解 ???????????314020112EA? ? ,2)1( 2???? ??.2,1 321 ???? ???的特征值為得 A? ?1 , A E x? ? ?? ?當 時 解 方 程 由,000010101414030111~?????????? ??????????????? EA ,1011???????????p得基礎解系的全體特征向量為故對應于 11 ??? ).0( 1 ?kpk? ?23 , 2 A E x?? ? ?? ?當 時 解 方 程 由,0000001141140001142 ~?????????? ??????????????? EA得基礎解系為： ,401,11032??????????????????????? pp :232 的全部特征向量為所以對應于 ?? ??).0,( 323322 不同時為kk pkpk ?注 2 并不一定唯一； ,??3 ｎ階方陣 Ａ 的 特征方程 ，是 以 1 特征向量 ，特征值問題只針對與方陣； 0? ?0EA? ??性質 71 ｎ階方陣 有且只有 n個特征值（ k重特征值算 k個） λ為未知數(shù)的一元ｎ次方程 屬于同一特征值的特征向量的非零線性組合仍是屬于這個特征值的特征向量 . ? ?1 2 1 2 , ,xA ? ? ? ??設 同 時 是 的 屬 于 特 征 值 的 的 特 征 向 量xAxxAx 21 , ?? ??xx 21 ?? ?? ? ? ,021 ??? x??,021 ?? ??由于 ,0?x則 .與定義矛盾4 一個特征值具有的特征向量不唯一； 一個特征向量不能屬于不同的特征值． 求矩陣特征值與特征向量的步驟： ? ?。 yxA?的線性變換。引入 特征值與特征向量的動機 1. 旋轉變換的軸 2. 橢圓的軸 3. 矩陣對角化 4. 研究線性變換 特征值與特征向量的引入 定義 Ａ 為ｎ階方陣， x為向量 稱為一個從 x到 y的 一般來說， x,y沒有太多關系。但有時它們成比例。 A xx??( ) 0A E x?? ? ??此 時 | A E | = 0A x E x????x 是 （ A E ） x =0 的 非 零 解3 1 1 21 3 1 2?? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?3 1 1 121 3 1 1?? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?3 1 12103111 0? ?? ? ? ??? ? ? ???? ? ? ? ????? ? ? ? ????? ?? ???3 1 1 1 121 3 1 011??? ? ? ??? ? ? ???? ? ? ? ??xxA ???欲 解 先 解 |A， E|=0?再 解 (A E) x= 0 的 非 零 解 x特征值與特征向量的概念 定義 Ａ 為ｎ階方陣， 是一個關于 稱為 Ａ 的 特征方程， ()f E A???? ?的 n次多項式，稱為 A的 特征多項式。d e t .1 EAA ??的特征多項式計算? ? 122. de t 0 , , , , 。n n na a a? ? ?? ? ? ? ? ? ?12( 1 ) 。 ?推論 7－ 1 證明 它的展開式中，主對角線上元素的乘積 ? ? ? ? ? ?1 1 2 2 nna a a? ? ?? ? ?EA? ?是其中的一項，由行列式的定義，展開式中的其它項至 多含ｎ－２個主對角線上的元素， 含 的項只能在主對角線上元素的乘積項中． 1nn?? ?與? ? 111 22nn nnE A a a a? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?故有 比較①，有 1 2 1 1 2 2 .n n na a a? ? ?? ? ? ? ? ? ?11 12 121 22 212nnn n n na a aa a aa a a???? ? ?? ? ??? ? ?因此，特征多項式中 1 2 1 1 2 2( 2 ) 。n n na a a? ? ?? ? ? ? ? ? ?所以 4 1 10 0 04 1 1??????????的三個特征值 1 2 3 3? ? ?? ? ? ?1 2 3 0A? ? ? ??例 P113 5 若 非零 向量 p滿足 Ap p???性質 7－ 3 則 是 A的特征值， p是 A的特征向量。 為 的特征值． 性質 74 2? 2A證明 因為 Ap p?? 所以 22() p pApA p A A? ?? ? ?所以 2? 是 的特征值， p是 的特征向量。 例 1 1 11 1 1?? ? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?00???????101?????? 0Ap p?三、應用舉例
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