[理學(xué)]ch7特征值與特征向量-wenkub.com
2025-01-16 14:39 本頁(yè)面
【正文】 后來(lái) ，克萊伯施 (,18311872) 、布克海姆 () 等證明了 對(duì)稱矩陣的特征根性質(zhì) 。文中他定義了矩陣的相等、矩陣的運(yùn)算法則、矩陣的轉(zhuǎn)置以及矩陣的逆等一系列基本概念，指出了矩陣加法的可交換性與可結(jié)合性。A求 的 特 征 值 特 征 向 量寫出 正交矩陣 和 對(duì)角矩陣 3. 解 ? ? ? ? ? ?4 1 2AE ? ? ? ?? ? ? ? ?.2,1,4 321 ???? ???得,020212022)1(???????????????A???????????310130004)2( A例 對(duì)下列各實(shí)對(duì)稱矩陣，分別求出正交矩陣 ， 使 為對(duì)角陣 . APP 1?P(1)第一步 求 的特征值 AA第 二 步 求 的 特 征 向 量.1221?????????????? .2122????????????? .2213????????????第三步 將特征向量正交化 第四步 將特征向量單位化 .3,2,1, ?? iiii ???令,3132321??????????????得 ,3231322????????????? .3232313????????????? ? ,22121212231, 321??????????????? ???P作.200010004 1????????????? APP則注意各特征值的排列順序 ???????????310130004)2( A ? ? ? ?224AE? ? ?? ? ? ?.4,2 321 ??? ???得特征值????????????1101?.110,00132?????????????????????? ??,32 恰好正交與 ??., 321 兩兩正交所以 ??? ? ?得令單位化再將 3,2,1, 321 ?? iiii ??????,212101????????????? ,0012???????????? .212103????????????? ??????????????2102121021010, 321 ???P12 0 00 4 0 .0 0 4P AP??????????,111111111?????????????????????A .00100100?????????????????????nB思考題 ., 是否相似判斷下列兩矩陣 BA.0,)()()d e t ( 211???????? ???????nnnAnEA?的特征值為因解使得矩陣存在可逆是實(shí)對(duì)稱矩陣又, 1PA),0,0,(111 ?ndi agPAP ????1d e t( ) ( ) ,() nB E n?? ? ?? ? ? ?還 可 求 得 .有相同的特征值與即 AB,1,02特征向量個(gè)線性無(wú)關(guān)的有對(duì)應(yīng)特征值 ???? nn?? ?, 212 ??? PBP .相似與故 BA? ? .2d e t, 2的值試求行列式的秩為且滿足階實(shí)對(duì)稱矩陣設(shè)AErAAAAn??思考題 使得故存在可逆陣且秩為陣是實(shí)對(duì)稱又或的特征值為可得由,01 2PrAAAA ?解.,000 1階單位陣是其中 rEEAPPrr??????????)2d e t ()2d e t ( 11 PPPPAE ?? ????從而)2de t ( ??? E ????????EErnr200d e t.2 rn??2. 對(duì)稱矩陣的性質(zhì)： 三、小結(jié) (1)特征值為實(shí)數(shù)； (2)屬于不同特征值的特征向量正交； (3)必存在正交矩陣，將其化為對(duì)角矩陣， 且對(duì)角矩陣對(duì)角元素即為特征值． 3. 利用正交矩陣將對(duì)稱陣化為對(duì)角陣的步驟： (1)求特征值，特征向量； (2)將特征向 量標(biāo)準(zhǔn)正交化，（ 3）寫出 P,與對(duì)角陣 1. 方陣可對(duì)角化的充要條件是：有 n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量。 定理 7－ 5P117 若ｎ階矩陣 Ａ 的任 k重 特征值 對(duì)應(yīng)
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