畢業(yè)論文矩陣的特征值與特征向量的若干應用-wenkub.com
2025-06-19 12:51 本頁面
【正文】 ② 。把所有得的特征值逐個代入方程組（）式, 對于每一個特征值, 解方程組（）式，求出一組基礎解系, 它們就是屬于這個特征值的幾個線性無關的特征向量在基 下的坐標, 這樣, 我們也就求出了屬于每個特征值的全部線性無關的特12n??征向量． 矩陣 的特征多項式的根有時也稱為 的特征值, 而相應的線性方程組（）式AA的解也就稱為 的屬于這個特征值的特征向量．例 1 設線性變換 在基 ， ， 下的矩陣是/1?23 1A???????，求 的特征值與特征向量．/A解 因為特征多項式為 ??21215EA??????? ,所以特征值1（二重）和 5．把特征值1 代入齊次方程組 ??1230xx????????得到 1230x??????它的基礎解系是 ， ．10???????因此，屬于1 的兩個線性無關的特征向量就是，132????而屬于－1 的全部特征向量就是 ， ， 取遍數(shù)域 中不全為零的全部數(shù)對. 1k?1k2P再用特征值 5 代入, 得到 12340x???????，它的基礎解系是 1??????．因此, 屬于 5 的一個線性無關的特征向量就是 ，3123????而屬于 5 的全部特征向量就是 , 是數(shù)域 中任意不等于零的數(shù)．kP 例 2 在空間 中, 線性變換??nPx ??xf`??在基 下的矩陣是??211,!!nx?? .00100??????????? ????D的特征多項式是D .01nDE????????? ?????因此 的特征值只有 0, 通過解相應的齊次線性方程組知道, 屬于特征值 0 的線性無D關的特征向量組只能是任一非零常數(shù). 這表明微商為零的多項式只能是零或非零常數(shù)．(見參考文獻[1])2 矩陣特征值與特征向量的幾個應用 特征值與特征向量確定矩陣的方法證明及應用已知矩陣的特征值與特征向量確定 3 階對稱矩陣的公式．設 3 階對稱矩陣 的特征值為 , 且 對應的特征向量為 , 則A12???1?p.321EpT???本文給出推廣到 命題的證明命題 1 設 階對稱矩陣 的特征值為 其中nAk?,21?≠ ， 對應的特征向量為 ， .則可取kn?i?j??k,2,??i?ip??,2k???， nki TiiTkEpA?????1且為 的 重特征值．A1nk??證明 不妨設, , nkki TiiTkEpB?????1 ??1ki TiiTkpC?．????12, ,2ikiiiniTpam? ?因為 兩兩正交,121,kp?? 1 ()kTikj ijknjjkjkjjBppEppp????????????，所以 為 的特征向量, 為 的對應于 的特征向量, 且 ．j?j j ??1,2j??因為 1kTikkniBEpC????1212(,.)(,.),Tikiiiiniiiinipmamapap???????????????????11121 ,kiki kiiniiiiki TiiTkC?即矩陣 的列向量組可由向量組 線性表示, 故矩陣 的秩2,kp?? C, .??nkR???0nEBC?所以 為 的特征值．k?B又可證 為 的 重特征值, 設 , 即k1nk???11,2kijijimapn????? .,1121 222112111 ???????knknnn kkpapama?? ??.???? ???????????? ???? nkkknkn aam11222111212121 , ? ???????因為 , 秩 , 故 ．0,im??? ??12,kRp?? ??,?R?不妨設 是向量組 的極大線性無關組, 則有121,ka?? na? ． 1,2??kjjjj abb? ??nkj,1,??若 ,則有??12,nnEe?? 11 1221122((),(),.()),.k k kniikiikinikni i ik nnBmapemapemapeae?
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