畢業(yè)論文矩陣的特征值與特征向量的若干應用(存儲版)
【正文】 屬于 5 的一個線性無關的特征向量就是 ，3123????而屬于 5 的全部特征向量就是 , 是數(shù)域 中任意不等于零的數(shù)．kP 例 2 在空間 中, 線性變換??nPx ??xf`??在基 下的矩陣是??211,!!nx?? .00100??????????? ????D的特征多項式是D .01nDE????????? ?????因此 的特征值只有 0, 通過解相應的齊次線性方程組知道, 屬于特征值 0 的線性無D關的特征向量組只能是任一非零常數(shù). 這表明微商為零的多項式只能是零或非零常數(shù)．(見參考文獻[1])2 矩陣特征值與特征向量的幾個應用 特征值與特征向量確定矩陣的方法證明及應用已知矩陣的特征值與特征向量確定 3 階對稱矩陣的公式．設 3 階對稱矩陣 的特征值為 , 且 對應的特征向量為 , 則A12???1?p.321EpT???本文給出推廣到 命題的證明命題 1 設 階對稱矩陣 的特征值為 其中nAk?,21?≠ ， 對應的特征向量為 ， .則可取kn?i?j??k,2,??i?ip??,2k???， nki TiiTkEpA?????1且為 的 重特征值．A1nk??證明 不妨設, , nkki TiiTkEpB?????1 ??1ki TiiTkpC?．????12, ,2ikiiiniTpam? ?因為 兩兩正交,121,kp?? 1 ()kTikj ijknjjkjkjjBppEppp????????????，所以 為 的特征向量, 為 的對應于 的特征向量, 且 ．j?j j ??1,2j??因為 1kTikkniBEpC????1212(,.)(,.),Tikiiiiniiiinipmamapap???????????????????11121 ,kiki kiiniiiiki TiiTkC?即矩陣 的列向量組可由向量組 線性表示, 故矩陣 的秩2,kp?? C, .??nkR???0nEBC?所以 為 的特征值．k?B又可證 為 的 重特征值, 設 , 即k1nk???11,2kijijimapn????? .,1121 222112111 ???????knknnn kkpapama?? ??.???? ???????????? ???? nkkknkn aam11222111212121 , ? ???????因為 , 秩 , 故 ．0,im??? ??12,kRp?? ??,?R?不妨設 是向量組 的極大線性無關組, 則有121,ka?? na? ． 1,2??kjjjj abb? ??nkj,1,??若 ,則有??12,nnEe?? 11 1221122((),(),.()),.k k kniikiikinikni i ik nnBmapemapemapeae?????? ??? ???????做第三種初等變換將第 j 列 化為??jkj??????1122,11,1,jkj jkkkjjjjkjbbebeee n?????????????? ?令????1,2ikiiaek???????12. ,(,1.,)jjjkjjbben???????????nkkknk kn eaeaEB ?????,112121 ?? ? ???? ?而行列式 是 的最高次冪為 的多項式． 為1211,kkn?????? ? 121,k??的特征值,B．????1knnkiiBE???????綜上可知命題成立． （參考文獻[2] [4] ） 命題的應用例 3 設 3 階對稱矩陣的特征值 , , ，對應于的 , 的特征向1??2?03??1?2量依次為 ,求矩陣 ．????TTpp2,21??A解 由公式= .3223113 EppATTT ????????????021例 4 設 3 階對稱矩陣 的特征值 ， , 對應于的 特征向量為61?32?1?求矩陣 ．??1,Tp?A 解 由公式 ．??????????4132112EpTT??綜上, 運用該命題根據(jù)已知條件, 可簡捷快速地求出矩陣, 給我們帶來極大的方便． 線性遞推關系中特征值與特征向量的應用用特征值和特征
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