畢業(yè)論文矩陣的特征值與特征向量的若干應(yīng)用-文庫吧
2025-06-07 12:51 本頁面
【正文】 的矩陣具有最簡(jiǎn)單的形式. 從現(xiàn)在開始, 我們主要的來討論, 在適當(dāng)?shù)倪x擇基之后, 一個(gè)線性變換的矩陣可以化成什么樣的簡(jiǎn)單形式 . 為了這個(gè)目的, 先介紹特征值和特征向量的概念, 它們對(duì)于線性變化的研究具有基本的重要性．定義 設(shè) 是數(shù)域 上的一個(gè) 階方陣,若存在一個(gè)數(shù) 以及一個(gè)非零 維APnP??n列向量 ,使得nxP? x??則稱 是矩陣 的一個(gè)特征值,向量 稱為矩陣 關(guān)于特征值 的特征向量．? A?現(xiàn)在我們給出尋找特征值與特征向量的方法, 設(shè) 是數(shù)域 上 維線性空間, VPn是它們的一組基, 線性變換 就是在這組基下的矩陣是 . 設(shè) 是特征值，12n?? / A0?它的一個(gè)特征向量 在 下的坐標(biāo)是 . 則由 , 這說明特?12,n?? nx0201,? x?征向量 的坐標(biāo) 滿足齊次次方程組??00x???????.,021 222 10121nnnnxaxa?? ???? ??即 ()????????????.0,021202 12110 nnnxaxa??? ??? ??由于 , 所以它的坐標(biāo) 不全為零, 即齊次線性方程組有非零解. 0??n0,?從而, 齊次線性方程組（ ）式, 有非零解的充分必要條件是它的系數(shù)行列式為零, 即．0021 202 112100 ?????nnn naaAE???? ?????我們引入以下定義.定義 設(shè) 是數(shù)域 上一 級(jí)矩陣, 是一個(gè)文字. 矩陣 的行列式PAE??，nnnnaaAE??????? ?????21221121稱為 的特征多項(xiàng)式, 這是數(shù)域 上面的分析說明, 如果 是線性變換 的特征值, 那么 一定是矩陣 的特征多0?/A0A項(xiàng)式的一個(gè)根。 反過來 , 如果 是矩陣 的特征多項(xiàng)式在數(shù)域 中的一個(gè)根, 即P, 那么齊次線性方程組（）式就有非零解. 這時(shí)，如果0EA???是方程組（）式的一個(gè)非零解, 那么非零解向量??120,nx?.0120nxx??????滿足（）式, 即 是線性變換 的一個(gè)特征值, 就是屬于特征值 的一個(gè)特征0?/A?0?向量．因此, 確定一個(gè)線性變換 的特征值與特征向量的方法可以分成一下幾步：/在線性空間 中取一組基 , 寫出 在這組基下的矩陣 。V12,n?? / A求出 的特征多項(xiàng)式 在數(shù)域 中全部的根, 它們也就是線性變換 的AEA??P/全部特征值。把所有得的特征值逐個(gè)代入方程組（）式, 對(duì)于每一個(gè)特征值, 解方程組（）式，求出一組基礎(chǔ)解系, 它們就是屬于這個(gè)特征值的幾個(gè)線性無關(guān)的特征向量在基 下的坐標(biāo), 這樣, 我們也就求出了屬于每個(gè)特征值的全部線性無關(guān)的特12n??征向量． 矩陣 的特征多項(xiàng)式的根有時(shí)也稱為 的特征值, 而相應(yīng)的線性方程組（）式AA的解也就稱為 的屬于這個(gè)特征值的特征向量．例 1 設(shè)線性變換 在基 ， ， 下的矩陣是/1?23 1A???????，求 的特征值與特征向量．/A解 因?yàn)樘卣鞫囗?xiàng)式為 ??21215EA??????? ,所以特征值1（二重）和 5．把特征值1 代入齊次方程組 ??1230xx????????得到 1230x??????它的基礎(chǔ)解系是 ， ．10???????因此，屬于1 的兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量就是，132????而屬于－1 的全部特征向量就是 ， ， 取遍數(shù)域 中不全為零的全部數(shù)對(duì). 1k?1k2P再用特征值 5 代入, 得到 12340x???????，它的基礎(chǔ)解系是 1??????．因此, 屬于 5 的一個(gè)線性無關(guān)的特征向量就是 ，3123????而屬于 5 的全部特征向量就是 , 是數(shù)域 中任意不等于零的數(shù)．kP 例 2 在空間 中, 線性變換??nPx ??xf`??在基 下的矩陣是??211,!!nx?? .00100??????????? ????D的特征多項(xiàng)式是D .01nDE????????? ?????因此 的特征值只有 0, 通過解相應(yīng)的齊次線性方程組知道,
環(huán)評(píng)公示相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1