【正文】 構(gòu)造。Jacobi矩陣是實(shí)對(duì)稱三對(duì)角陣，其中次對(duì)角線上元素大于零, Jacobi矩陣特征值反問題就是根據(jù)已知的特征值和特征向量的某些信息求Jacobi矩陣的元素，這類問題產(chǎn)生于地球物理、振動(dòng)力學(xué)等應(yīng)用學(xué)科。本論文根據(jù)已知的特征值和特征向量的某些信息求Jacobi矩陣的元素，并應(yīng)用不同的數(shù)值方法：Lanzcos方法、正交約化方法中的驅(qū)逐出境法和Rutishauser方法來進(jìn)行相應(yīng)的數(shù)值試驗(yàn)，比較相應(yīng)的運(yùn)算量、方法的穩(wěn)定性等。Jacobi矩陣是實(shí)對(duì)稱三對(duì)角陣，其中次對(duì)角線上元素大于零，確定一個(gè)實(shí)對(duì)稱三角矩陣，除了零元素外，只有2n1個(gè)元素需要確定。論文的第一章簡要的介紹了特征值反問題的概念、研究內(nèi)容和已有的一些研究著作；第二章介紹了Jacobi矩陣的形式，：給定兩組交錯(cuò)升序排列的實(shí)數(shù)： λ1μ1λ2μ2?μn1λn求一個(gè)n階Jacobi矩陣T，使得T和它的右下角n1階主子陣的特征值分別為和μ1,?,μn1有解的充要條件、解的存在唯一性的證明；第三章運(yùn)用不同的數(shù)值方法：Lanzcos方法、正交約化方法中的驅(qū)逐出境法和Rutishauser方法來進(jìn)行相應(yīng)的數(shù)值試驗(yàn)，比較相應(yīng)的運(yùn)算量、方法的穩(wěn)定性；給出Lanzcos方法、正交約化方法中的驅(qū)逐出境法和Rutishauser方法的算法并編寫相應(yīng)的Matlab程序；第四章試著用上述方法解決秩1修改問題：給定2n個(gè)實(shí)數(shù)： λ1μ1λ2μ2?μn1λnμn求一個(gè)n階Jacobi矩陣T，使得T的特征值就是給定的數(shù)，而將T的（1，1）位置上的元素作適當(dāng)修改后得到的Jacobi矩陣T就有特征值和廣對(duì)稱Jacobi矩陣的特征值反問題：給定n個(gè)實(shí)數(shù) λ1λ2?λn求一個(gè)n階廣對(duì)稱Jacobi矩陣T，使得T的特征值就是給定的數(shù)。2 基本問題和定性理論所謂Jacobi矩陣是指形如T=α1 β2 β2 α2 β3 ? ? ? βn1 αn1 βn βn αn 的實(shí)對(duì)稱三對(duì)角矩陣，其中次對(duì)角線上元素大于零。對(duì)于給定的n階Jacobi矩陣T, 我們用來表示T劃去第一列和第一行之后所得到的n1階主子陣，通常稱作T的右下角的n1階主子陣。 基本問題Jacobi矩陣特征值反問題就是根據(jù)已知的特征值和特征向量的某些信息求Jacobi矩陣的元素。這類問題產(chǎn)生于地球物理、振動(dòng)力學(xué)等應(yīng)用學(xué)科，由于實(shí)際問題的差異而提出的問題也不盡相同，但其中最基本的問題是：：給定兩組交錯(cuò)升序排列的實(shí)數(shù)： λ1μ1λ2μ2?μn1λn求一個(gè)n階Jacobi矩陣T，使得T和它的右下角的n1階主子陣的特征值分別為和μ1,?,μn1。這類問題由Hochstadt于1967年首先提出的，經(jīng)過幾十年的深入研究，現(xiàn)在已達(dá)到實(shí)用階段。在理論上已經(jīng)證明上述問題的解的存在唯一性，并連續(xù)的依賴于給定的數(shù)據(jù)；數(shù)值方法上，已經(jīng)得到幾種快速穩(wěn)定的方法。 定性理論：設(shè)T是n階Jacobi矩陣， T=QΛQT其中Λ=diag(λ1,λ2,?,λn)，正交，而且Q的第一行元素滿足 q1j2=i=1n1(λjμi)/i=1i≠jn(λjλi) j=1,2,?,n證明：必要性 ，則由是T的特征值，故存在正交矩陣使得T=QΛQT成立，又T的右下角的n1階主子陣T的特征值是μ1,?,μn1，則由引理知 q1j2=i=1n1(λjμi)/i=1i≠jn(λjλi) j=1,2,?,n成立。充分性 設(shè)T有分解T=QΛQT并滿足q1j2=i=1n1(λjμi)/i=1i≠jn(λjλi) j=1,2,?,n。記 。由前面學(xué)過的引理知 ， j=1,2,?,n 。由T滿足T=QΛQT知，從而由q1j2=i=1n1(λjμi)/i=1i≠jn(λjλi) j=1,2,?,n和j=1,2,?,n可得 j=1,2,?,n。注意到和都是的n1次首一多項(xiàng)式，互不相同，即知 j=1,2,?,n蘊(yùn)含著。從而T的特征值是μ1,?,μn1。：。證明： 存在性 由給定的2n1個(gè)數(shù)定義兩個(gè)多項(xiàng)式： 和。下證存在實(shí)數(shù)，正數(shù)和一個(gè)n2次首一多項(xiàng)式滿足 并且的零點(diǎn)嚴(yán)格分隔的零點(diǎn)。 設(shè) 并代入，比較兩邊同次冪的系數(shù)，可得 。只要證明了0，則上述公式就有意義，從而也就找到了所需的數(shù)，和多項(xiàng)式。由和的定義，可得 ， ， ， 。于是，有 ， 。從已知的2n1個(gè)數(shù)滿足條件λ1μ1λ2μ2?μn1λn立即知道0。在中令即得 ， 。由此即知的符號(hào)為。所以在每個(gè)區(qū)間（，）內(nèi)必有的一個(gè)零點(diǎn)。又至多有n2個(gè)互不相同的零點(diǎn)，因此，的零點(diǎn)正好嚴(yán)格分隔的零點(diǎn)，即 。重復(fù)前面的推理，由和又可找到實(shí)數(shù)，正數(shù)和 n3次首一多項(xiàng)式滿足，而且的零點(diǎn)嚴(yán)格分隔的零點(diǎn)。如此進(jìn)行n1步，就可找到n1個(gè)實(shí)數(shù)n1個(gè)正數(shù)，以及n1個(gè)首一多項(xiàng)式。滿足：(i) ,。(ii) 是k次多項(xiàng)式；(iii) 的零點(diǎn)嚴(yán)格分隔的零點(diǎn)。令 =，，T=α1 β2 β2 α2 β3 ? ? ? βn1 αn1 βn βn αn 則易證這樣構(gòu)造出的T之特征多項(xiàng)式必為，而其右下角的n1階主子陣T的特征多項(xiàng)式正好是。唯一性 ，由定理知T和T有分解 和，其中，和正交且它們的第一行都滿足q1j2=i=1n1(λjμi)/i=1i≠jn(λjλi) ， j=1,2,?,n。 顯然，我們可以通過調(diào)整Q和每列元素的符號(hào)，使得它們的第一行元素均為正數(shù)，這樣便有，j=1,2,?,n。從和和，j=1,2,?,n利用歸納法容易推出。： λ1μ1λ2μ2?μn1λn和 λ1μ1λ2μ2?μn1λn所對(duì)應(yīng)的解，則存在正數(shù)K和δ使得，只要j=1n(λjλj)2+j=1n1(μiμi)2δ就有 ∥TT∥F≤K(j=1n(λjλj)2+j=1n1(μjμj)2)1/2上式表明，它是局部Lipschitz連續(xù)的。3 Jacobi矩陣特征值反問題數(shù)值方法在許多物理問題中，三對(duì)角矩陣常常是做為原始數(shù)據(jù)出現(xiàn)的，它們本身是很重要的。一個(gè)對(duì)稱矩陣可