【正文】 :n1 x(i)=x(i)*(mu(j)lambda(i))。n=4。mu(2)=6。lambda(4)=4。lambda(2)=2。 （7） 如果in1，則i=i+1，轉(zhuǎn)步（3）；否則 = ， 輸出α1,α2,?,αn和β2,?,βn，結(jié)束。(4). 如果i=1，i=i+1，轉(zhuǎn)步（3）；否則k=i，進(jìn)行下一步。正交約化方法中的Rutishause方法算法步驟：(1). 輸入和μ1,?,μn1.(2). ωi=[j=1n1(μjλi)/j=1j≠in(λjλi)]1/2 (i=1,2,?,n)， (i=1,2,?,n)， ， i=1。 Rutishauser方法這一方法基本上類似于前面介紹的驅(qū)逐出境法，只是約化的次序不同，其約化過程不難從下面的圖示明白。而且由于整個(gè)約化過程是用數(shù)值穩(wěn)定的Givens變換進(jìn)行的，所以這一算法是數(shù)值穩(wěn)定的。 （7） 如果i2，則i=i1，轉(zhuǎn)步（3）；否則 = ， 輸出α1,α2,?,αn和β2,?,βn，結(jié)束。(4). 如果i=n，i=i1，轉(zhuǎn)步（3）；否則k=i，進(jìn)行下一步。正交約化方法中的驅(qū)逐出境法算法步驟：(1). 輸入和μ1,?,μn1.(2). ωi=[j=1n1(μjλi)/j=1j≠in(λjλi)]1/2 (i=1,2,?,n)， (i=1,2,?,n)， ， i=n。因而，我們形象地稱這一約化法為驅(qū)逐出境法。上述過程，每消去一個(gè)邊上的非零元素，就會(huì)出現(xiàn)一個(gè)不希望有的新的非零元，然后再將這一非零元素逐步消除。 驅(qū)逐出境法這一方法是受對(duì)稱QR方法的啟發(fā)而得到的，其運(yùn)算量與下面將要介紹的Rutishauser方法完全相同，但這一方法更自然一些，具體執(zhí)行過程不難從下面的矩陣圖示中明白。這種方法既數(shù)值穩(wěn)定性好，又僅需的運(yùn)算量即可完成。為了保證數(shù)值穩(wěn)定性，必須使用再正交化技巧；然而，這樣做導(dǎo)致所需運(yùn)算量增到。這一算法所需運(yùn)算量是。(4). , γi=ωi (i=1,2,?,n) ， ωi=νi/βj+1 (i=1,2,?,n) ， 。Lanzcos方法算法步驟：(1). 輸入和μ1,?,μn1.(2). ωi=[j=1n1(μjλi)/j=1j≠in(λjλi)]1/2 (i=1,2,?,n) ， α1=i=1nλiωi2 ， j=1 。因此，在矩陣計(jì)算中，對(duì)稱三對(duì)角矩陣已經(jīng)成為一種有用的工具。因此求對(duì)稱矩陣特征值的方法，第一步先把矩陣化成對(duì)稱三對(duì)角陣，然后再來求該對(duì)稱三對(duì)角陣的特征值。3 Jacobi矩陣特征值反問題數(shù)值方法在許多物理問題中，三對(duì)角矩陣常常是做為原始數(shù)據(jù)出現(xiàn)的，它們本身是很重要的。從和和，j=1,2,?,n利用歸納法容易推出。唯一性 ，由定理知T和T有分解 和，其中，和正交且它們的第一行都滿足q1j2=i=1n1(λjμi)/i=1i≠jn(λjλi) ， j=1,2,?,n。(ii) 是k次多項(xiàng)式；(iii) 的零點(diǎn)嚴(yán)格分隔的零點(diǎn)。如此進(jìn)行n1步，就可找到n1個(gè)實(shí)數(shù)n1個(gè)正數(shù)，以及n1個(gè)首一多項(xiàng)式。又至多有n2個(gè)互不相同的零點(diǎn)，因此，的零點(diǎn)正好嚴(yán)格分隔的零點(diǎn)，即 。由此即知的符號(hào)為。從已知的2n1個(gè)數(shù)滿足條件λ1μ1λ2μ2?μn1λn立即知道0。由和的定義，可得 ， ， ， 。 設(shè) 并代入，比較兩邊同次冪的系數(shù)，可得 。證明： 存在性 由給定的2n1個(gè)數(shù)定義兩個(gè)多項(xiàng)式： 和。從而T的特征值是μ1,?,μn1。由T滿足T=QΛQT知，從而由q1j2=i=1n1(λjμi)/i=1i≠jn(λjλi) j=1,2,?,n和j=1,2,?,n可得 j=1,2,?,n。記 。 定性理論：設(shè)T是n階Jacobi矩陣， T=QΛQT其中Λ=diag(λ1,λ2,?,λn)，正交，而且Q的第一行元素滿足 q1j2=i=1n1(λjμi)/i=1i≠jn(λjλi) j=1,2,?,n證明：必要性 ，則由是T的特征值，故存在正交矩陣使得T=QΛQT成立，又T的右下角的n1階主子陣T的特征值是μ1,?,μn1，則由引理知 q1j2=i=1n1(λjμi)/i=1i≠jn(λjλi) j=1,2,?,n成立。這類問題由Hochstadt于1967年首先提出的，經(jīng)過幾十年的深入研究，現(xiàn)在已達(dá)到實(shí)用階段。 基本問題Jacobi矩陣特征值反問題就是根據(jù)已知的特征值和特征向量的某些信息求Jacobi矩陣的元素。2 基本問題和定性理論所謂Jacobi矩陣是指形如T=α1 β2 β2 α2 β3 ? ? ? βn1 αn1 βn βn αn 的實(shí)對(duì)稱三對(duì)角矩陣，其中次對(duì)角線上元素大于零。Jacobi矩陣是實(shí)對(duì)稱三對(duì)角陣，其中次對(duì)角線上元素大于零，確定一個(gè)實(shí)對(duì)稱三角矩陣，除了零元素外，只有2n1個(gè)元素需要確定。Jacobi矩陣是實(shí)對(duì)稱三對(duì)角陣，其中次對(duì)角線上元素大于零, Jacobi矩陣特征值反問題就是根據(jù)已知的特征值和特征向量的某些信息求Jacobi矩陣的元素，這類問題產(chǎn)生于地球物理、振動(dòng)力學(xué)等應(yīng)用學(xué)科。Jacobi矩陣形式簡(jiǎn)單，它可以根據(jù)給定的特征值和特征向量直接判斷它的各類特征值反問題是否存在解，這些判斷條件往往是Jacobi矩陣本身性質(zhì)所決定的，而不是人為地強(qiáng)加給反問題的。Boley和Golub的綜述《A survey of matrix inverse eigenvalue problems》，該文獻(xiàn)主要講述的是各類Jacobi矩陣特征值反問題及其相應(yīng)的數(shù)值算法；《Structured inverse eigenvalue problems》，該綜述參考了四百多篇文獻(xiàn)收集了39類矩陣特征值反問題，論述了這些反問題的最新進(jìn)展，并將這些特征值反問題歸結(jié)為三類：帶參數(shù)的特征值反問題，結(jié)構(gòu)特征值反問題以及部分構(gòu)造的特征值反問題。國內(nèi)外關(guān)于代數(shù)特征值反問題方面的文獻(xiàn)和著述是很多的。例如，在求解線性代數(shù)方程組Ax=b的一些迭代法收斂性研究中，就要尋找一個(gè)非奇異矩陣H，使矩陣的條件數(shù)最小，這本質(zhì)上可以作為代數(shù)特征值反問題。在數(shù)值代數(shù)中，已知一個(gè)矩陣求其特征值或特征向量稱為代數(shù)特征值問題，代數(shù)特征值反問題就是在一定的限制條件下，求矩陣使其具有預(yù)先給定的特征值或者特征向量。譬如乘法正問題：給定兩個(gè)數(shù)求它們之積，它的反問題就是求一個(gè)數(shù)的兩個(gè)因子。關(guān)鍵詞： Jacobi矩陣，特征值，反問題，數(shù)值穩(wěn)定性畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）中文摘要畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）外文摘要Title Numer