【正文】 λ1λ2?λn求一個(gè)n階廣對(duì)稱Jacobi矩陣T，使得T的特征值就是給定的數(shù)。為解決廣對(duì)稱Jacobi矩陣的特征值反問題，需要運(yùn)用廣對(duì)稱Jacobi矩陣的基本性質(zhì)，我們先來討論一下廣對(duì)稱Jacobi矩陣的基本性質(zhì)：設(shè)Jacobi矩陣 T=α1 β2 β2 α2 β3 ? ? ? βn1 αn1 βn βn αn 是廣對(duì)稱的，即 令k=.記,其中為k階實(shí)對(duì)稱三對(duì)角矩陣，=[]為k階反序單位矩陣。則由式可知T可寫成如下形式：(1) 當(dāng)n=2k時(shí)， ； k k (2) 當(dāng)n=2k+1時(shí)， , k 1 k其中 。于是有：(1) 當(dāng)n=2k時(shí)， ， 其中 ；(2) 當(dāng)n=2k+1時(shí)， ， 其中 。這表明廣對(duì)稱Jacobi矩陣的特征值問題可以化為兩個(gè)階數(shù)等于原矩陣階數(shù)一半的Jacobi矩陣的特征值問題。由于T的次對(duì)角元素均為正數(shù)，故它的特征值互不相同，假設(shè)其為 λ1λ2?λn 。當(dāng)n=2k+1時(shí)，由知， ，其中 現(xiàn)在假設(shè)和S的特征值分別為 和 ，則由S是的一個(gè)k階主子陣，故有 。從而有 當(dāng)n=2k時(shí)，由知 。為了給出T的特征值與和的特征值之間的進(jìn)一步關(guān)系，先介紹一個(gè)定理。 設(shè)A是實(shí)對(duì)稱矩陣，它的特征值是，再設(shè)是一正數(shù)，的特征值是，則有 。證明：對(duì)任意的，有 ，因而由Hermite矩陣特征值的極小極大定理，有 。設(shè)A的右下角的n1階主子陣的特征值是，則有 和 。從而有 ， 由，和。注：在定理中將換作負(fù)數(shù)時(shí)，證明過程完全類似。當(dāng)n=2k+1時(shí)，：求一個(gè)k+1階Jacobi矩陣 使得的特征值是而S的特征值是。這正好是我們?cè)懻撨^的基本問題，因此，而且可用Lanzcos方法或正交約化法求解。當(dāng)n=2k時(shí)，：求一個(gè)k階Jacobi矩陣 使得它特征值是而且的特征值是。這正好是我們?cè)懻撨^的秩1修改問題，因此，而且可用Lanzcos方法或正交約化法求解。結(jié) 論求解Jocobi矩陣特征值反問題的數(shù)值方法問題產(chǎn)生于地球物理、振動(dòng)力學(xué)等應(yīng)用學(xué)科。這類問題由Hochstadt于1967年首先提出，進(jìn)過幾十年的深入研究，現(xiàn)在已達(dá)到實(shí)用階段。理論上，已經(jīng)證明上述問題的解的存在唯一性，并連續(xù)的依賴于給定的數(shù)據(jù)；數(shù)值方法上，已經(jīng)得到幾種快速穩(wěn)定的方法。例如：Lanzcos方法、正交約化方法中的驅(qū)逐出境法和Rutishauser方法。用Lanzcos方法、正交約化方法中的驅(qū)逐出境法和Rutishauser方法求解實(shí)對(duì)稱三對(duì)角陣矩陣，經(jīng)過編寫相關(guān)的程序，這些方法都比較好的實(shí)用性。Lanzcos方法簡(jiǎn)單易行，而正交約化法是針對(duì)Lanzcos方法的數(shù)值穩(wěn)定性較差而提出來的，運(yùn)算過程穩(wěn)定且運(yùn)算量小。但這些比較好的方法只能用來求解對(duì)稱三對(duì)角陣矩陣，對(duì)于非對(duì)稱三對(duì)角陣矩陣能不能運(yùn)用這些方法呢？這個(gè)問題有待我們進(jìn)一步的研究與討論。參考文獻(xiàn)1. 徐樹方，矩陣計(jì)算的理論與方法，北京大學(xué)出版社，1995. [s].高等學(xué)校計(jì)算數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，1999，4:305310.3 .蔣爾雄，矩陣計(jì)算，科學(xué)出版社，2008.4. 徐映紅，Jacobi矩陣及周期Jacobi矩陣特征值反問題，上海大學(xué)博士學(xué)位論文，2007.5. 周樹荃、戴華,代數(shù)特征值的反問題，河南科學(xué)技術(shù)出版社，1991.6. 蔣爾雄，對(duì)稱矩陣計(jì)算，上?？茖W(xué)計(jì)算出版社，1984.7. 甄西豐，實(shí)用數(shù)值計(jì)算方法，清華大學(xué)出版社，2006.8. 劉新國(guó)，關(guān)于Jacobi陣逆特征值問題的擾動(dòng)分析，高校計(jì)算數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2001.9. 蔡大用，數(shù)值代數(shù)，清華大學(xué)出版社，1987.10. 曹志浩，矩陣特征值問題，上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，1980.11. 孫繼廣，矩陣擾動(dòng)分析，科學(xué)出版社，1987.12. 王則可、高慶堂，同倫方法引論，重慶出版社，1990.13. 王德人、楊忠華，數(shù)值逼近引論，高等教育出版社，1990.14. Parlett B N. The Symmetric Eigenvalue Problem. SIAM, 1998.15 . Hang F Z. Matrix Theory: Basic Results and Techniques. New York: Spring Verlag, 1999.16. ErxiongJiang. An extension of the roots separation theorem. of OperAtions Researeh, 2001，103:315327.17 ., A stability analysis of the Jacobi matrix inverse eigenvalue problem, BIT, 33(1993) , 695702.18. ，. Refine dinterlaeing properties J. SIAM Analysis, 199219. . On the construction of a Jacobi matrix from speetral data [J]. LinearAlgrbra and Its APPI.，1974. 20. . On the construction of a Jacobi matrix from mixed given data [J].Linear Algrbra and Its APPI.，1979.致 謝在論文即將完成之際,我的心情無法平靜，從開始進(jìn)入課題到論文的順利完成，有多少可敬的師長(zhǎng)、同學(xué)、朋友給了我無言的幫助，在這里請(qǐng)接受我誠(chéng)摯的謝意！首先衷心地感謝我的指導(dǎo)老師焦艷東老師，焦老師嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度，平易近人的工作作風(fēng)是我今后學(xué)習(xí)和生活上的楷模。由于這次我的論文內(nèi)容是自己以前沒有接觸過的新知識(shí)，遇到了許多自己想象不到的問題，是焦老師給予一一指點(diǎn)而解決的，并對(duì)論文提出了很多寶貴的意見。在此謹(jǐn)向尊敬的焦老師致以最誠(chéng)摯的謝意。感謝參加開題論證的老師們，他們對(duì)我的論文開題提出了很多建設(shè)性的意見。同時(shí)向參加論文審閱和答辯的老師致以誠(chéng)摯的敬意和衷心的感謝。感謝我的父母家人對(duì)我的一貫支持，你們是我不斷拼搏、努力進(jìn)取的動(dòng)力，是我堅(jiān)強(qiáng)的后盾，是我義無反顧的泉源。感謝你們無怨無悔地照顧我，至始至終默默地支持我。作為一個(gè)本科生的畢業(yè)論文，由于經(jīng)驗(yàn)的匱乏，難免有許多考慮不周全的地方，希望老師們督促和指