【文章內(nèi)容簡介】 以通過有限步計算，正交相似變換成一個對稱三對角矩陣，對稱三對角矩陣僅有(2n1)個獨立元素，它比原矩陣要簡單得多。因此求對稱矩陣特征值的方法，第一步先把矩陣化成對稱三對角陣，然后再來求該對稱三對角陣的特征值。有些求解系數(shù)矩陣對稱的線性方程組的方法，也是先把系數(shù)矩陣化成對稱三對角陣，然后再來解系數(shù)矩陣為對稱三對角的方程組。因此，在矩陣計算中，對稱三對角矩陣已經(jīng)成為一種有用的工具。 Lanczos方法：（1）用q1j2=i=1n1(λjμi)/i=1i≠jn(λjλi) j=1,2,?,n求出一個單位向量q；（2）對Λ=diag(λ1,λ2,?,λn)和q應用Lanczos迭代求出Jacobi矩陣T。Lanzcos方法算法步驟：(1). 輸入和μ1,?,μn1.(2). ωi=[j=1n1(μjλi)/j=1j≠in(λjλi)]1/2 (i=1,2,?,n) ， α1=i=1nλiωi2 ， j=1 。(3). 如果j=1，則 νi=ωi(λiα1) (i=1,2,?,n) ；否則 (i=1,2,?,n) 。(4). , γi=ωi (i=1,2,?,n) ， ωi=νi/βj+1 (i=1,2,?,n) ， 。(5). 如果jn1，則j=j+1轉(3)；否則輸出α1,α2,?,αn和β2,?,βn，結束。這一算法所需運算量是。但由于Lanczos方法產(chǎn)生的Lanczos向量很快失去正交性，因而這一算法的數(shù)值穩(wěn)定性較差。為了保證數(shù)值穩(wěn)定性，必須使用再正交化技巧；然而，這樣做導致所需運算量增到。 正交約化法前面介紹的Lanzcos方法，雖然簡單易行，但為了保證數(shù)值穩(wěn)定性，必須進行再正交化，這樣運算量又太大，針對這一問題，經(jīng)過長期研究，現(xiàn)在終于設計出另一種十分漂亮的算法—正交約化法。這種方法既數(shù)值穩(wěn)定性好，又僅需的運算量即可完成。下面介紹兩種十分漂亮的方法。 驅(qū)逐出境法這一方法是受對稱QR方法的啟發(fā)而得到的，其運算量與下面將要介紹的Rutishauser方法完全相同，但這一方法更自然一些，具體執(zhí)行過程不難從下面的矩陣圖示中明白。，其中“”表示可能有的非零元素，“+”表示變換后可能新增加的非零元素，“”表示對箭尾所指的矩陣進行坐標平面內(nèi)的正交相似變換后變成箭頭所指的矩陣。上述過程，每消去一個邊上的非零元素，就會出現(xiàn)一個不希望有的新的非零元，然后再將這一非零元素逐步消除。例如，當我們消去(1,3)和(3,1)位置上的非零元素之后，就會在(2,4)和(4,2)位置上出現(xiàn)一個不希望有的非零元素；然后，我們就接著消去這一非零元素，于是又在(3,5)和(5,3)位置上又出現(xiàn)一個不希望有的非零元素；緊接著再消去這一非零元素，就得到了我們所需的形式。因而，我們形象地稱這一約化法為驅(qū)逐出境法。一般地，如果從消去(1,n+1)和(n+1,1)位置的非零元素出發(fā)，已進行了k步，第k+1步是先消去(nk,1)和(1,nk)位置上的非零元素，此時就會在(nk+1,nk1)和(nk1,nk+1) 位置上出現(xiàn)一個不希望有的非零元素；接著連續(xù)進行(nk,nk+1)，(nk+1,nk+2),… , (n,n+1)平面內(nèi)的旋轉變換，就可將這一不希望有的非零元素逐步從矩陣的內(nèi)部驅(qū)趕到矩陣之外。正交約化方法中的驅(qū)逐出境法算法步驟：(1). 輸入和μ1,?,μn1.(2). ωi=[j=1n1(μjλi)/j=1j≠in(λjλi)]1/2 (i=1,2,?,n)， (i=1,2,?,n)， ， i=n。(3). 確定s=，c=，使 ， 。(4). 如果i=n，i=i1，轉步（3）；否則k=i，進行下一步。 （5） 確定s=，c=，使 ， ， （6） 如果k n1，則k=k+1轉步（5）；否則進行下一步。 （7） 如果i2，則i=i1，轉步（3）；否則 = ， 輸出α1,α2,?,αn和β2,?,βn，結束。不難算出這一算法的運算量是。而且由于整個約化過程是用數(shù)值穩(wěn)定的Givens變換進行的，所以這一算法是數(shù)值穩(wěn)定的。數(shù)值試驗的結果亦表明這一算法是快速有效的。 Rutishauser方法這一方法基本上類似于前面介紹的驅(qū)逐出境法，只是約化的次序不同，其約化過程不難從下面的圖示明白。正交約化方法中的Rutishause方法算法步驟：(1). 輸入和μ1,?,μn1.(2). ωi=[j=1n1(μjλi)/j=1j≠in(λjλi)]1/2 (i=1,2,?,n)， (i=1,2,?,n)， ， i=1。(3). 確定s=，c=，使 ， 。(4). 如果i=1，i=i+1，轉步（3）；否則k=i，進行下一步。 （5） 確定s=，c=，使 ， ， （6） 如果k2，則k=k1轉步（5）；否則進行下一步。 （7） 如果in1，則i=i+1，轉步（3）；否則 = ， 輸出α1,α2,?,αn和β2,?,βn，結束。下面將列出求解Jacobi矩陣特征值反問題的Lanzcos方法、正交約化方法中的驅(qū)逐出境法和Rutishauser方法的Matlab程序： Lanzcos方法的Matlab程序：lambda(1)=1。lambda(2)=2。lambda(3)=3。lambda(4)=4。mu(1)=5。mu(2)=6。mu(3)=7。n=4。for i=1:nx(i)=1。 for j=1:n1 x(i)=x(i)*(mu(j)lambda(i))。endy(i)=1。 for j=1:n if i~=j y(i)=y(i)*(lambda(j)lambda(i))。 endendw(i)=sqrt(x(i)/ y(i))。endalpha(1)=0。for i=1:n alpha(1)=alpha(1)+lambda(i)*w(i)*w(i)。 endj=1。for i=1:n v(i)=w(i)*(lambda(i) alpha(1))。endfor j=1:n1 if jn j=j+1。 x(j)=0。 for i=1:n x(j)=x(j)+v(i)*v(i)。 end beta(j)=sqrt(x(j))。 for i=1:n gamma(i)=w(i)。 end for i=1:n w(i)=v(i)/beta(j)。 end y(j)=0。 for i=1:n y(j)=y(j)+lambda(i)*w(i)*w(i)。 end