線性代數(shù)--矩陣的特征值與特征向量-資料下載頁(yè)
2025-01-03 03:29本頁(yè)面
【正文】 連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng) 35 36 本節(jié)主要圍繞矩陣的特征值與特征向量展開(kāi) 特征值與特征向量的定義 。 求法 。 性質(zhì) 。 矩陣的對(duì)角化。 1. 37 解： ??? 特征值???? 0)( AIf A分析： 00 ?????? AAAI?若 3階矩陣 A使得 ,03 ????? AIAIA所以， A的全部特征值為 0,3,1。 則 A的全部特征值為 _____. 03 ?? AI0)( ????????? AIAIAI綜合題 .考查矩陣特征值概念及行列式的簡(jiǎn)單性質(zhì)。 38 因?yàn)?A與 B相似 ,而相似矩陣有相同的特征值 , 2. 已知 3階矩陣 A與 B相似 , A的特征值為 1,1/2,1/3,則 ._ _ _ __ _ _1 ??? IB行列式 解： 1?B又因?yàn)?A的特征值為 1,1/2,1/3,所以 B的特征值為 1,1/2,1/3。 的特征值為 1, 2, 3。 IB ??1 的特征值為 2, 3, 4。 。241 ??? ? IB???????????122212221A3. 的特征方程為：A122212221)(????????????????? AIf A100010111)5(??????? 39 解： (1)求 A 的特征值： 的全部特征值與對(duì)應(yīng)的 求矩陣 線性無(wú)關(guān)的特征向量。 0)1)(5( 2 ???? ??.(1,5 21 二重根）???? ??即時(shí)當(dāng) ,0)(,5 11 ??? XAI??????????????????042202420224321321321xxxxxxxxx??????????????????4222422241 AI??????????????000110211 40 (2)求 A 的特征向量： ????????00232321xxxxx同解方程組為： :,13 得基礎(chǔ)解系取 ?x???????????1111??????????????????022202220222321321321xxxxxxxxx 41 即為屬于 51 ??時(shí)的線性無(wú)關(guān)的特征向量。 即時(shí)當(dāng) ,0)(,1 22 ???? XAI??同解方程組為 : 0321 ??? xxx:,1,0。0,1 3232 得基礎(chǔ)解系依次取 ???? xxxx?????????? ???????????? ??101,01132 ?? 42 即為屬于 12 ???時(shí)的線性無(wú)關(guān)的特征向量。 凱萊（ Arthur Cayley, 1821～ 1895) 英國(guó)純粹數(shù)學(xué)的近代學(xué)派帶頭人。1821年 8月 16日生于薩里郡里士滿，1895年 1月 26日卒于劍橋。 1839年入劍橋大學(xué)三一學(xué)院學(xué)習(xí)， 1842年畢業(yè)，后在三一學(xué)院任聘 3年，開(kāi)始了畢生從事的數(shù)學(xué)研究。因未繼續(xù)受聘 ,又不愿擔(dān)任圣職（這是當(dāng)時(shí)繼續(xù)在劍橋的數(shù)學(xué)生涯的一個(gè)必要條件），于 1846年入林肯法律協(xié)會(huì)學(xué)習(xí)并于 1849年成為律師，以后 14年他以律師為職業(yè)，同時(shí)繼續(xù)數(shù)學(xué)研究。因大學(xué)法規(guī)的變化， 1863年被任為劍橋大學(xué)純粹數(shù)學(xué)的第一個(gè)薩德勒教授，直至逝世。 43 凱萊一般被公認(rèn)為是矩陣論的創(chuàng)立者，因?yàn)樗紫劝丫仃囎鳛橐粋€(gè)獨(dú)立的數(shù)學(xué)概念提出來(lái)并發(fā)表了一系列文章。另外，凱萊還給出了方陣的特征方程和特征根（特征值）以及有關(guān)矩陣的一些基本結(jié)果。 凱萊最主要的貢獻(xiàn)是與西爾維斯特一起，創(chuàng)立了代數(shù)型的理論，共同奠定了關(guān)于代數(shù)不變量理論的基礎(chǔ)。他是矩陣論的創(chuàng)立者。他對(duì)幾何學(xué)的統(tǒng)一研究也作了重要的貢獻(xiàn)。他曾任劍橋哲學(xué)會(huì)、倫敦?cái)?shù)學(xué)會(huì)、皇家天文學(xué)會(huì)的會(huì)長(zhǎng)。 凱萊是極豐產(chǎn)的數(shù)學(xué)家，在數(shù)學(xué)、理論力學(xué)、天文學(xué)方面發(fā)表了近千篇論文，他的數(shù)學(xué)論文幾乎涉及純粹數(shù)學(xué)的所有領(lǐng)域，收集在共有 14卷的 《 凱萊數(shù)學(xué)論文集 》 中，并著有 《 橢圓函數(shù)專論 》 一書(shū)。 44
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