淺談特征值和特征向量的解法與應(yīng)用-資料下載頁(yè)
2025-06-24 21:59本頁(yè)面
【正文】 。定理2設(shè)A為n階實(shí)對(duì)稱(chēng)，則必存在一個(gè)正交矩陣P，使得AP=AP=,其中是以A的n個(gè)特征值為對(duì)角元的對(duì)角矩陣。證 已知A=,A=,.因?yàn)锳對(duì)稱(chēng)，故====A于是=A=()=即=，故=0即與正交。例 求一個(gè)正交矩陣P，使AP=為對(duì)角陣，其中A=.解 由︳AE︱==所以A的特征值為=1，=2，=5.對(duì)應(yīng)=1，解齊次線性方程組= =得其基礎(chǔ)解系=。將單位化，得=。對(duì)應(yīng)=2，解齊次線性方程組=0，即得到其基礎(chǔ)解系=。將單位化，得對(duì)應(yīng)=5，解齊次線性方程組= =得其基礎(chǔ)解系=。將單位化，得=。由，構(gòu)成正交矩陣：P=(,)=有AP=AP==.七 利用矩陣的特征值與特征向量求可對(duì)角矩陣的參數(shù)。設(shè)A矩陣能相似于對(duì)角矩陣，則必存在可逆矩陣P，使得AP=A ,即必存在n個(gè)線性無(wú)關(guān)特征值向量可組成P，即r重特征值必有r個(gè)線性無(wú)關(guān)特征向量。 例 已知A=能相似于對(duì)角矩陣，試確定 ，y應(yīng)滿(mǎn)足的關(guān)系。解：｜｜=== ，故無(wú)論 ，y為何值，均有=1 ，=1 （二重根）。對(duì)于=1 （二重根），由題設(shè)知，必有兩個(gè)線性無(wú)關(guān)特征向量，即=0必有兩個(gè)線性無(wú)關(guān)解向量，故應(yīng)有r=r=r=1 ,故 ，y應(yīng)滿(mǎn)足 .矩陣的特征值和特征向量有許多具體應(yīng)用，依據(jù)上面所討論的，可以方便求得n階矩陣A的逆矩陣、伴隨矩陣、及A的多項(xiàng)式等的特征值和特征向量，,本文僅做了初步探討，但確是一個(gè)重要的研究方向,在數(shù)學(xué)物理反問(wèn)題的離散化,粒子物理的核光譜學(xué)、振動(dòng)反問(wèn)題等領(lǐng)域上都有著具體的應(yīng)用。 結(jié)束語(yǔ)：矩陣的特征值及特征向量在數(shù)值分析中有廣泛而重要的應(yīng)用，如主成分分析、因子分析、典型相關(guān)分析都必須計(jì)算相關(guān)矩陣的特征值和相應(yīng)的特征向量。我們要熟練掌握矩陣的各種性質(zhì)，運(yùn)用多種方法求出特征值與特征向量，為我們解決實(shí)際中的問(wèn)題參考文獻(xiàn)[1]袁 [J].高等數(shù)學(xué)研究,2004,(3),4647.[2][3][M].,2007.[4] [M].北京:高等教育出版社,1999.[5] [J].南京航空航天大學(xué)學(xué)報(bào),1995,27(3):400413.[6]馮 紅 線性代數(shù)大學(xué)講堂。大連理工大學(xué)出版社。[7]李烔生 查建國(guó) 線性代數(shù)。中國(guó)科技大學(xué)出版社。[8]程云鵬 矩陣論 西北工業(yè)大學(xué)出版社。[9]張禾瑞 等 高等代數(shù) 高等教育出版社。13
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