線(xiàn)性代數(shù)第五章特征值與特征向量自測(cè)題-資料下載頁(yè)
2025-06-07 21:54本頁(yè)面
【正文】 得基礎(chǔ)解系 。令 ，則 。由此得 。于是，四、證明題：（1）證明： ∵是正交矩陣， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ，即：是的一個(gè)特征值。 （2）證明：設(shè)有一組數(shù)，使 ……………………①即：………………②又∵， ∴②式為： …………③由于已知∴線(xiàn)性無(wú)關(guān)，③式成立當(dāng)且僅當(dāng)： ………………………………④解齊次線(xiàn)性方程組④，由于其系數(shù)行列式為： ，由于當(dāng)且僅當(dāng)④僅有零解：故線(xiàn)性無(wú)關(guān)的充分必要條件是（3）證明： ∵，∴ 1，2，…，是階矩陣的個(gè)不同的特征值，而是 的分別屬于1，2，…，的線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量。又∵ …設(shè)有一組數(shù)：使得： ………①即：…………………②也即：… ……………③由于線(xiàn)性無(wú)關(guān)，故③式成立當(dāng)且僅當(dāng)： ……………………………④∵齊次線(xiàn)性方程組④的系數(shù)行列式：=1+∴當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，=1+（1）=0，④有非零解； 當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，=1+1=20，④僅有零解；∴由①式有：當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，線(xiàn)性相關(guān)，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，線(xiàn)性無(wú)關(guān)。10
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