【正文】 ) ( 3 ) ( 3 )1 1 2 1 3 1 1 1( 3 ) ( 3 ) ( 3 )2 2 3 2 1 2( 3 ) ( 3 ) ( 3 )2 3 3 3 1 332( 3 ) ( 3 )4 3 4 1 4 0(10c os sinsin c os 11 nnnnnnnhVr h h h hr h h hh h hVHh h h???????????????????????????????（）（）設 否則進行下一步），再取旋轉(zhuǎn)矩陣 － 則( 3 )( 3 )( 3 ) ( 3 )1( 2 )( 2 )( 2 ) 2 ( 2 ) 232222 2 2 2 2 3 222 c os , sin , ( ) ( ) .nn n n nHhhhhr h hrr????????????????????????? ? ? ?其中( ) ( 1 )1( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( )1 1 1 1 1( ) ( ) ( )1( ) ( ) ( )1 1 1 1( ) ( )1 1 kkkkk k k kk k n nk k kk k k k n k nk k kk k k n k nk k kk k k n k nkknn nnkH V Hr h h h hr h h hh h hh h hhh????? ? ? ? ??? ? ? ???????????????????????????假設上述過程已進行了 步，有??()11( ) ( )1( ) 2 ( ) 21 0 ,11 c os sinsin c os1 c os , sin , ( ) ( ).kkkkk kkkkkkk k k kkkkkkkk k k k khVhhrrr h h???????????????????????????????????????設取其中( 1 ) ( 1 ) ( 1 )1 1 1 1 1( 1 ) ( 1 )1( ) ( 1 )( 1 ) ( 1 ) ( 1 )1 1 1 1 1 1( 1 ) ( 1 ) ( 1 )2 1 2 1 2( 1 ) ( 1 )1 1k k kk k nkkk k k k nkk k k kkk k k k n k nk k kk k k n k nkknn nnr h h hr h hV H Hh h hh h hhhn? ? ??????? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ?????????????????????????????于是因此，最多做 次旋( ) ( ) ( )1 12 13 1( ) ( )2 23 2() ()1 1 2 21 33 n n nnnnnn nnn n n nnr h h hr h hH V V V H Rrhr? ? ?????????? ? ?????????轉(zhuǎn)變換，即得12 1 3 2 12 1 3 2 123 ( 2 , 3 , , ) 4,() iiT T TnnT T TnnV i nH V V V R Q RQ V V Vn Q ROnH R RQR????????因為 均為正交矩陣，故其中 仍為正交矩陣。可算出完成這一過程的運算量約為 比一般矩陣的 分解的運算量 少一個數(shù)量級?？勺C明 仍是擬上三角陣，于是可按上述步驟一直迭代下去，這樣得到的 方法的運算量比基本 方法大為減少。需要說明 QR的是，通常用 方法計算特征值，然后用反冪法求其相應的特征向量。39。 2 239。39。25 3 2 6 4 44 4 5 ( 6 , 4) 6 4 ( 1 , 0) ( 6 52 , 4) ( 092 , 784 ) 21 0 025 350 20 1 350 974 7T T TTTQ R AAww w wI w w??????????? ???? ? ? ? ??????? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?例：用 方法求矩陣 的全部特征值。解：首先將 化成擬上三角陣，取1050 700 700 0501 0 00 050 7000 700 050H????????????? ? ????????于是 11( 1 ) 2 211 1 1215 1 .3 8 6 7 5 0 3 .3 2 8 2 0 0 7 .2 1 1 1 0 2 1 .2 3 0 7 6 8 8 .1 5 3 8 4 00 0 .1 5 3 8 4 6 2 .2 3 0 7 6 7, 5 ( 7 .2 1 1 0 2 ) 8 .7 7 4 9 6 4 c o s 5 0 .5 6 9 8 0 . sin 0 .8 2 1 7 8 1 H H A HH A H Q RH H rrV??????? ? ? ? ????? ???? ? ? ? ?? ? ? ??即為與 相似的擬上三角矩陣。將 進行 分解，記取0 .5 6 9 8 0 3 0 .8 2 1 7 8 1 00 .8 2 1 7 8 1 0 .5 6 9 8 0 3 00 0 1???????????( 1 )212222222 0 831 0 103 00 384 6 076 7 ( 831 0) ( 384 6) 452 6 , c os 0 4 , si n 6 9 VHrrr???????????? ???? ? ? ???? ? ? ?于是再取32( 1 )32 21 11 0 0 0 4 90 118 9 356 4 0 452 6 198 20 0 195 3VV V H R????????????????? ? ???????于是1 2 1 3 2( 2 )11 0. 82 17 81 0. 53 76 43 0. 18 87 120 0. 33 11 89 0. 94 35 64 0 0. 48 74 95 1. 38 88 83, 11TTQ V VH R Q????? ? ????? ???????? ? ? ????? ???第一次迭代得重復上述過程 迭代 次( 1 2 )1 2 3 0. 00 74 96 2. 00 46 95 1. 94 19 710 0. 00 03 25 0. 99 98 95 , , 3,2,1.HQR? ? ???????????? ???? ? ?得精確值下三角非對角元的最大模為 。 方法“基本”收斂較慢。五、帶原點移位的 QR方法 ? ?? ?( ) ( )1 2 1( ) ( )11 2 1 Q R,( ) , , kknnnnkknn nnnnnH h AAH h ku u u u u? ? ? ????? ? ? ????? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?理論分析和實際計算均表明， 方法產(chǎn)生的矩陣序列的右下角對角元素 最先與 的特征值接近?？梢宰C明，若矩陣 的特征值滿足 則的右下角對角元 且收斂速度是線性的，速率為 。于是考慮原點移位的技巧來加快收斂速度，即取位移使其滿足且11 ( )nnuH uI Q RuQR???? ? ??－。這樣，對 用 方法就可以加快收斂速度，這就是帶原點移位的 方法。()()( 1 ) 12 1 , 2 , , , ( 3 ) kkkkk k kkk k kkH ou se ho lde r A Hk u H u I Q RH u I Q RH R Q u Iu Q R???????其具體步驟為：（ ）用 變換將矩陣 化成擬上三角矩陣 。（ ）對 取位移 將 進行 分解，關于每次迭代時位移 的取法及 方法的迭代準則，就不詳述了。還有一些其它求特征值的算法，如適用于并行計算的同倫算法等，同樣也不詳述了。 ( 數(shù)值分析）數(shù)值逼近 數(shù)值代數(shù) 方程求解實際計算結果檢驗輸出預測結果修正計算方法數(shù)學模型實際問題中位置。在求解實際問題數(shù)值分析數(shù)值計算與分析一 )()( ? ??? ????? ??? ??模型誤差 方法誤差 測量誤差 舍入誤差 《 數(shù)值分析 》 復習 插值法 F F T 擬合法 數(shù)值積分與微分數(shù)值逼近 基本思想：基函數(shù)方法 基本理論： Lagrange， Newyor型基函數(shù)，分 段插值公式樣條插值構造方法。 作用區(qū)別，算法、誤差公式 （理解與應用） 擬合方法的正交多項式系的概念。 DFT與 FFT的構成，公式與算法。 數(shù)值積分：幾何意義，基本公式，算法，誤差。 Romberg求積法的理論依據(jù)與算法。 解線性方程組 矩陣特征值與特征向量 數(shù)值代數(shù) 直接方法 迭代法理論：列主元 Gauss消元法、矩陣表示與計算量 LU分解算法與用途。 向量范數(shù)與矩陣范數(shù)。 迭代方法的統(tǒng)一表示與松弛法 收斂性定理與誤差估計 冪法逆冪法理論與算法。 降階與加速 非線性代數(shù)方程 微分方程方程求解 常微分方程 偏微分方程理論：二分法的條件與收斂速度。 一般迭代， Newton迭代、 Aitken方法、 理論依據(jù)與算法。 方程組求解 Newton 法與最速下降法基本理論。 常微分方程 Euler 方法的理論解釋、收斂性。 數(shù)值穩(wěn)定性概念與分析方法。 RungeKatta 方法 的算法產(chǎn)生與穩(wěn)定性分 析。 方程組的 RK 算法公式。