【導(dǎo)讀】師的指導(dǎo)下進(jìn)行的研究工作及取得的成果。盡我所知，除文中特別加。而使用過的材料。均已在文中作了明確的說明并表示了謝意。除了文中特別加以標(biāo)注引用的內(nèi)容外，本論文。不包含任何其他個(gè)人或集體已經(jīng)發(fā)表或撰寫的成果作品。究做出重要貢獻(xiàn)的個(gè)人和集體，均已在文中以明確方式標(biāo)明。全意識(shí)到本聲明的法律后果由本人承擔(dān)。同意學(xué)校保留并向國(guó)家有關(guān)部門或機(jī)構(gòu)送交論文的復(fù)印件和電子版，允許論文被查閱和借閱。本人授權(quán)大學(xué)可以將本學(xué)位。印或掃描等復(fù)制手段保存和匯編本學(xué)位論文。涉密論文按學(xué)校規(guī)定處理。程序清單等），文科類論文正文字?jǐn)?shù)不少于。有圖紙應(yīng)符合國(guó)家技術(shù)標(biāo)準(zhǔn)規(guī)范。圖表整潔，布局合理，文字注釋必須使用工程。相關(guān)求法，通過實(shí)例展示了特征值與特征向量的相關(guān)應(yīng)用。

　　

【正文】 ?????? ?? 這里 iT 是矩陣 T 第 i 列向量，它恰好是矩陣 A 關(guān)于特征根 ? 的特征向量，并且由線性方程組 ? ? 0?? ii TEA ? 所確定 . 例 試求方程組 ???????????????????zyxdtdzzyxdtdyzyxdtdx353 的通解 . 解 它的系數(shù)矩陣是 ???????????????311151113A 的特征方程是 南京師范大學(xué)泰州學(xué)院畢業(yè)論文 18 ? ? 0311151113d e t ???????????????????????? EA 即 0363611 23 ???? ??? 所以矩陣 A 的特征根為 6,3,2 321 ??? ??? 。先求 21?? 對(duì)應(yīng)的特征向量 ???????????cbaT1 cba,., 滿足方程 ? ? 01111311111 ?????????????????????????????????????cbacbaEA ? 即 ???????????????0030cbacbacba 可得 0, ??? bca .取一組非零解，例如令 ,1??c 就有 ,1 ???? cba .同樣，可求出另兩個(gè)特征根所對(duì)應(yīng)的特征向量，這樣，這三個(gè)特征根所對(duì)應(yīng)的特征向量分別是 ???????????????????????????????????121,111,101321 TTT 故方程組的通解是 ? ?? ?? ? ?????????????????????????????????????????????121111101633221 ttt eCeCeCtztytx 阻尼自由振動(dòng)中特征根求解的應(yīng)用 本節(jié)主要 描述彈簧振動(dòng)的方程 ? ?tfcxdtdxdt xdm ??? ?22 并且研究其解的物理意義 . 如果 ?? 0?tf ，即假定沒有外力 ??tf ，這時(shí)得到方程南京師范大學(xué)泰州學(xué)院畢業(yè)論文 19 022 ??? cxdtdxdt xdm ? 而稱彈簧的振動(dòng)為阻尼自由振動(dòng)。 如果令 nmkmc 2,2 ?? ? ，則方程（ ）就變?yōu)? 02 222 ??? xkdtdxndt xd 的形式。它是一個(gè)二階常系數(shù)線性齊次方程。它的特征方程是 02 22 ??? kn?? ，特征根是 222,1 knn ????? 現(xiàn)在分三種情況討論 (1) 022 ??kn ，這時(shí)對(duì)應(yīng)于介質(zhì)阻尼相對(duì)不太大的情形。如果令 2122 kkn ?? 則 ()為 12,1 ikn???? 的形式，這時(shí)，方程 ()的通解為 ? ?tkCtkCex nt 1211 s inco s ?? ? 用類似 ()的方法可將它化為 ? ???? ? tkAex nt 1s in 如果初值條件為：當(dāng) 0?t 時(shí) 00 , ?? ?? xx . 為了確定出相應(yīng)的 A 及 ? ，先來計(jì)算 ? ? ? ???? ????? ?? tkA n etkeAkdtdx ntnt111 s i nc o s 將 0?t 代入 x 及 v 的表達(dá)式中，可得 ?sin0 Ax ? ??? s i nco s10 AnAk ?? 把第二個(gè)方程的兩端除以第一個(gè)方程相應(yīng)的兩端，得 nkx ?? ?? c ot100 南京師范大學(xué)泰州學(xué)院畢業(yè)論文 20 從而00010100 t a n,c o t nxxkxk nx ???? ???? ，于是 0001a r c t a n nxk?? ? ?? 因?yàn)? ? ?2002021000121t a n1t a ns i nnxxknxxk??????????? ? ?2020021 01 nxxk xk ??? ?5 ? ?120200210s i n knxxkxA ???? ?? ()式表明，這時(shí)所發(fā)生的是阻尼振動(dòng)，振幅 ntAe? 是時(shí)間 t 的遞減函數(shù)，且當(dāng)???t 時(shí)， 0??ntAe 振動(dòng)的周期由式子 22122 nkkT ??? ?? 確定 . 振動(dòng)頻率 221 nkk ?? 較簡(jiǎn)諧振動(dòng)的頻率小 ? ?kk ?1 ，它也與物體的初始狀態(tài)無關(guān) . (2) 022 ??kn ,這時(shí)通解為 ? ?tCCex nt 21 ?? ? 此時(shí)運(yùn)動(dòng)不具振動(dòng)性質(zhì)，且當(dāng) ???t 時(shí)， 0?x (3) 022 ??kn ,這時(shí)對(duì)應(yīng)與介質(zhì)阻尼相對(duì)較大的情形，令 222 hkn ?? ，特征根為 ? ?hnhn ??????2,1? 因?yàn)?nh? ，故這時(shí)兩個(gè)特征根均為負(fù)，通解易見，此時(shí)運(yùn)動(dòng)不是周期的，因而不具振動(dòng)性質(zhì)，且當(dāng) ???t 時(shí)， 0?x . 南京師范大學(xué)泰州學(xué)院畢業(yè)論文 21 總 結(jié) 矩陣是線性代數(shù)中的一個(gè)重要部分，特征值與特征向量問題是矩陣?yán)碚摰闹匾M成部分，特征值與特征向量有著許多具體的應(yīng)用，本文通過查閱相關(guān)的資料并在指導(dǎo)老師的指導(dǎo)和建議下對(duì)特征值與特征向量原理進(jìn)行了歸納總結(jié) .首先簡(jiǎn)單的敘述了特征值與特征向量的概念及其性質(zhì)，探究了特征值與特征向量的幾種解法，在此基礎(chǔ)上重點(diǎn)介紹了特征值與特征向量的應(yīng)用問題 .矩陣的高次冪的求解是有技巧的，當(dāng)矩陣可對(duì)角化時(shí)，利用特征值與特征向量把矩陣對(duì)角化，可以簡(jiǎn)便的解出矩陣高次冪的值 .本文通過應(yīng)用舉例 說明了特征值在求解二次型的條件最值問題的應(yīng)用，給出了特征值法原理，運(yùn)用特征值法求二次型的條件最值問題 .給出了特征值與特征向量在矩陣運(yùn)算中使用的性質(zhì)，并且舉例說明了特征值與特征向量在矩陣運(yùn)算中的應(yīng)用 .運(yùn)用一些特征值與特征向量的性質(zhì)和方法，可以使問題更簡(jiǎn)單，運(yùn)算上更方便，是簡(jiǎn)化有關(guān)復(fù)雜問題的一種有效途徑。特征值與特征向量理論的應(yīng)用是多方面的，不僅在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，而且在力學(xué)、物理、科技方面都有十分廣泛的應(yīng)用，值得我們深入探究 . 南京師范大學(xué)泰州學(xué)院畢業(yè)論文 22 參考文獻(xiàn) [1]邱啟榮 .線性代數(shù) [M].中國(guó)科學(xué)院文獻(xiàn)情報(bào)中心， 2020 [2]黃有度 .矩陣?yán)碚撆c應(yīng)用 [M].中國(guó)科學(xué)大學(xué)出版社， 2020 [3]羅家洪 .矩陣分析引論 [M].華南理工大學(xué)， 2020 [4]史榮昌 .矩陣分析 [M].北京理工大學(xué)出版社， 1996 [5]戴華 .矩陣特征值反問題的若干進(jìn)展 [M].南京航空大學(xué)出版社， 1995 [6]朱鳳娟 .特征值和特征向量逆問題的研究 [M]. 濱州學(xué)院出版社， 2020 [7]陳龍玄 .四元數(shù)矩陣的特征值和特征向量 [M].煙臺(tái)大學(xué)出版社， 1993 [8]邵逸民 .矩陣的公共特征值和特征向量研究 [M].太元師范學(xué) 院出版社， 2020 南京師范大學(xué)泰州學(xué)院畢業(yè)論文 23 致 謝 本論文是在我的指導(dǎo)老師黃玉才老師的悉心指導(dǎo)下完成的 .黃老師嚴(yán)肅的科學(xué)態(tài)度 ,嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)精神 ,精益求精的工作作風(fēng) ,深深地感染和激勵(lì)著我 .從一開始論文題目的選擇到寫作的最終完成 ,黃老師都始終給予我細(xì)心的指導(dǎo)和不懈的支持 .黃老師在論文學(xué)業(yè)上給我以精心指導(dǎo) ,在此謹(jǐn)向黃老師致以誠(chéng)摯的謝意和崇高的敬意 .此外 ,我還要感謝我的同學(xué)們 ,由于你們的幫助和支持 ,我才能克服一個(gè)個(gè)的困難和疑惑 ,直到本文順利完成 .在論文即將完成之際 ,我的心情無法平靜 ,從開始進(jìn) 入課題到論文的順利完成 ,這都與黃老師精心的指導(dǎo)分不開 . 最后 ,我還要感謝幫助我的老師和同學(xué) ,正是由于你們的幫助和支持 ,我才能克服一個(gè)又一個(gè)的困難和疑惑 ,直至本文的順利完成 ,衷心的謝謝你們！