淺談特征值和特征向量的解法與應(yīng)用(完整版)
【正文】 ｜｜=0 ，故有特征值1 。,根據(jù)特征方程，滿足的，則是的特征值。一 ，求解矩陣A的特征根及特征向量的傳統(tǒng)方法是。特別是計算機的廣泛應(yīng)用，大量的算法都涉及到矩陣運算。淺談特征值和特征向量的解法與應(yīng)用摘 要特征值與特征向量是高等代數(shù)研究的中心問題之一，而矩陣特征值與特征向量的解法及其應(yīng)用更是重中之重，因此，在掌握特征值與特征向量概念、了解其基本性質(zhì)的基礎(chǔ)上，熟練掌握其在各種具體問題中的解法，并自然地將此知識應(yīng)用于其他領(lǐng)域顯得非常重要。當階數(shù)較高時，矩陣乘法將變得非常繁雜，這就需要找出簡單的方法。(1)取定數(shù)域K上的線性空間的一個基，寫出線性變換T在改基下的矩陣A；(2)求出A的特征多項式在數(shù)域K上的全部根，它們就是T的全部特征值；把求得的特征值逐個帶入方程組，解出矩陣A的屬于每個特征值的全部線性無關(guān)額特征向量；以A的屬于每個特征值的特征向量為中取定基下的坐標，即得T的相應(yīng)特征向量。這種方法多應(yīng)用于數(shù)值矩陣。三 ，利用矩陣的初等變換求特征值與特征向量的兩種方法。應(yīng)用例題例 1 求實數(shù)域上矩陣A=的特征值域特征向量。抽象矩陣的特征值與特征向量的求法：（1）根據(jù)滿足此關(guān)系式的與p分別是A的特征值與特征向量的求法；（2）滿足關(guān)系式的數(shù)即為A的特征值；（3）若滿足某個關(guān)系，其中 是度多項式，并不是充分條件，即多項式的所有根未必都是的特征值。因此，求A的特征值與特征向量歸結(jié)為求B的特征值和特征向量。例 1 設(shè)3階方陣的特征值為，對應(yīng)的特征向量分別為= ，= ,=，求A.由于是方陣對應(yīng)于特征值的特征向量，于是有：令，那么= ，則有AP=PΛ,其中Λ= 。由于實對稱矩陣的特征值為實數(shù)。將單位化，得=。大連理工大學出版社。中國科技大學出版社。設(shè)A矩陣能相似于對角矩陣，則必存在可逆矩陣P，使得AP=A ,即必存在n個線性無關(guān)特征值向量可組成P，即r重特征值必有r個線性無關(guān)特征向量。定理2設(shè)A為n階實對稱，則必存在一個正交矩陣P，使得AP=AP=,其中是以A的n個特征值為對角元的對角矩陣。例 2已知線性方程組有無窮多解，A是三階矩陣， ， ， 分別是A關(guān)于特征值1，1，0 的三個特征向量，求A。因=0故是B的屬于=2的特征向量。（1）證明和有相同的特征值；（2）求的特征值；（3）若A可逆，求 ， ，E的特征值。所以的屬于全部的特征向量為,其中不為零。 考
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