淺談特征值和特征向量的解法與應用-文庫吧資料
2025-06-30 21:59本頁面
【正文】 四 求抽象矩陣的特征值與特征向量。所以A的特征值為= =1 ，=5. 當= 時=～，由定理4得 ，所以的屬于==1全部特征向量為+ ,其中 ，不全為零；當=5時，(5)=～,由定理4得=所以的屬于全部的特征向量為 ,其中不為零。所以的屬于全部的特征向量為,其中不為零。應用例題例 1 求實數(shù)域上矩陣A=的特征值域特征向量。若對矩陣施行一系列初等變換，可得到上三角矩陣令的主對角線上元素乘積為零，求得值即為矩陣A的特征值。定理2：若對矩陣實行一系列行初等變換，化為行階梯形，同時對單位陣也施行相應的行初等變換，使,其中為滿秩矩陣，則中的nr個n維向量的轉(zhuǎn)置就為矩陣A的屬于特征值Y的特征向量。 考察的第一列元素:若≠0, 通過行初等變換化為。三 ，利用矩陣的初等變換求特征值與特征向量的兩種方法。（3）式兩邊同乘｜｜，得｜｜｜｜=｜｜=｜｜=0故知的特征值為 。同理，（3）式兩邊同乘︱A+︱,得︱A+︱︱｜=︱｜=｜｜=｜｜=0 ,故知的特征值為。解 用特征方程求。這種方法多應用于數(shù)值矩陣。二 利用特殊的特征方程求特征值與特征向量。解 ： 矩陣A的特征多項式==.所以特征根是1和5.當矩陣的屬于特征根1的特征向量是齊次線性方程組 4=0， 2+2=0， 2=0。解 容易算出A的特征多項式是=det==因為T的特征值是=5.特征方程=0的一個基礎解系為, T的屬于的兩個線性無關的特征向量為 , 的屬于的全體特征向量為不同時為零)特征方程=0的一個基礎解系為 ,則T的屬于的全體特征向量為 （K不等于零）對于線性空間的線性變換的任一特征值，T的屬于的全部特征向量，再添上零向量所構成的集合 是的一個線性子空間。(1)取定數(shù)域K上的線性空間的一個基，寫出線性變換T在改基下的矩陣A；(2)求出A的特征多項式在數(shù)域K上的全部根，它們就是T的全部特征值；把求得的特征值逐個帶入方程組，解出矩陣A的屬于每個特征值的全部線性無關額特征向量；以A的屬于每個特征值的特征向量為中取定基下的坐標，即得T的相應特征向量。從理論上來講，只要求出線性變換A的特征值與特征向量，就可知矩陣A的特征值與特征向量，反之亦然。在多數(shù)《高等代數(shù)》教材中，特征值與特征向
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