第7章矩陣的特征值和特征向量-文庫吧資料
2024-09-09 09:06本頁面
【正文】 ??????A R A R???????????2 4 1 1 6 2 4 7 9 03 2 0 3 8 3 1 0 2 7 2 4 7 9 3 1 0 2 3 8 4 4 )2(A數(shù) 學 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS ???????????4 9 6 4 2 0 9 6 1 2 0 9 6 1 2 0 3 8 9 5 1 9 05 9 5 1 9 8 3 1 8 )3(A?????????????4 9 6 4 2 0 8 6 5 2 0 0 4 2 0 8 6 5 7 7 5 7 0 2 0 0 4 2 5 9 9 )4(A???????????????4 8 5 2 3 2 0 0 1 03 8 8 7 6 0 1 0 7 0 2 0 0 1 0 1 0 7 2 5 9 9 )5(A數(shù) 學 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS ?????????????4 8 5 4 0 0 0 0 0 0 1 0 7 0 0 0 0 0 8 8 7 6 00 0 1 0 7 2 5 8 2 )6(A???????????4 8 5 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 8 7 6 001 2 5 8 2 )7(A從而 A的特征值可取為 ?1?, ?2?, ?3? 數(shù) 學 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 為了減少搜索非對角線絕對值最大元素時間 , 對經典的 Jacobi方法可作進一步改進 . Jacobi方法 : 按 (1,2),(1,3),…,(1,n),(2,3),(2,4),…,(2,n),…,(n 1,n)的順序 , 對每個 (p,q)的非零元素 apq作 Jacobi變換 ,使其零化 ,逐次重復掃描下去 ,直至 ?(A)?為止 . Jacobi方法 : 取單調下降收斂于零的正數(shù)序列 ??k?,先以 ?1為關卡值 ,依照 1中順序 ,將絕對值超過 ?1的非對角元素零化 ,待所有非對角元素絕對值均不超過 ?1時 ,再換下一個關卡值 ?2 ,直到關卡值小于給定的精度 ? . 。當非對角元已經小得無足輕重時，可以近似 認為對角元就是 A的所有特征值。 若 A對稱，則存在正交陣 Q(QTQ=I)，使得 ???????????????nTA????21直接找 Q不大可能。 |||||| ||1212 ???? ??? pp數(shù) 學 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 反冪法 vvAvAv ?? 11 ??? ?所以， A和 A－ 1的特征值互為倒數(shù) nnAA????????????? ??21121 : : 1?ii??這樣，求 A－ 1的按模最大特征值，就可以求出 A的按模最小特征值 ?????????????)1()1()1()(1)1(/ kkkkkxxyyAx為避免求逆的運算，可以解線性方程組 )()1( kk yAx ??數(shù) 學 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 若知道某一特征根 ?i 的大致位置 p ，即對任意 j ? i 有 | ?i ? p | | ?j ? p | ，并且如果 (A ? pI)?1存在，則可以用反冪法求 (A ? pI)?1的主特征根 1/(?i ? p ) ，收斂將非?？?。 ?1 ?2 ?n O p = ( ?2 + ?n ) / 2 思路 令 B = A ? pI ，則有 | ?I?A | = | ?I?(B+pI) | = | (??p)I?B | ? ?A ? p
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鄂ICP備17016276號-1