基于冪法的自適應特征值計算方法研究畢業(yè)論文-資料下載頁
2025-06-23 07:43本頁面
【正文】 分解設為對稱正定矩陣, 存在一個實的非奇異下三角矩陣, 且的對角元素為正時, 有惟一的分解式. 即,當時, 有, 也即, . 特別地, 當時, 有,=1,2,.示例：求矩陣的的分解和分解解：對作矩陣，所以計算得到；對作矩陣，計算得到；對作矩陣，計算得到；令，可得到的分解為，的分解為， 矩陣的QR分解：對任意一個非奇異矩陣（可逆矩陣）A，可以把它分解為一個正交陣Q和一個上三角陣R的乘積，稱為對矩陣A的QR分解，即A=QR。如果規(guī)定R的對角元取正實數(shù)，這種分解是唯一的，若A是奇異的，則A有零特征值，任取一個不等于A的特征值的實數(shù)u，則Au|是非奇異的，只要求出Au|的特征值和特征向量就容易求出A的特征值和特征向量，所以假設A是非奇異的，不是一般性。設,對進行QR分解，得,交換乘積的次序得，由于正交矩陣，到的變化為正交相似變換，于是和有相同的特征值，一般的令，對于 這樣，可以得到一個迭代序列，這就是QR方法的基本過程。 矩陣的QR分解基本概念和定理. 設是單位列向量,即, 稱矩陣為矩陣. 由矩陣確定的上的現(xiàn)線性變換稱為變換. 若不是單位向量, 則定義為矩陣, 對應的變換成為變換. 矩陣具有如下性質:1)（對稱矩陣）。2)（正交矩陣）。3)（對合矩陣）。4)（自逆矩陣）。5)是階矩陣。6).. 如果實（復）非奇異矩陣能夠轉化成正交（酉）矩陣與實（復）非奇異上三角矩陣R的乘積, 即,則稱上式為的分解. 定理 . 任何實的非奇異階矩陣可分解為正交矩陣和上三角矩陣的乘積,且除去相差一個對角線元素之絕對值全等于一定對角矩陣因子外, 分解式是惟一的. . 設為復矩陣, 且個列向量線性無關, 則有分解式,其中是復矩陣, 且滿足, 是階復非奇異上三角矩陣, 且除去相差一個對角線元素的矩陣行列式全為1的對角矩陣因子外, 分解式是惟一的. 推論 1. 設為實（復）矩陣, 且其個列向量線性無關, 則存在階正交（酉）矩陣和階非奇異實（復）上三角矩陣, 使得定理 如果在非奇異矩陣的分解中規(guī)定上三角陣的各個對角元素的符號, 則的分解式惟一的. . 設為任意的矩陣, 且, 則存在階正交矩陣與階正交矩陣, 使得或， 這里為矩陣, 他可以表示為一個準對角矩陣形式:其中是階的下三角非奇異方陣,或又稱為的正交三角分解. . 設, 則存在酉矩陣, 使得, 其中是階梯型矩陣. QR方法的實際計算步驟第一步Householder變換，如果v給出單位向量而l是單位矩陣，則描述上述變換的是豪斯霍爾德矩陣（表示向量v的共軛轉置）.第二步結論 本文主要研究了冪法以及逆冪法求解矩陣的按摸最大最小特征值以及相對應的特征向量，在一些工程運用中也會應到，需要我們求矩陣的按模最大的特征值(稱為的主特征值)和對應的特征向量，比如最小特征值常常被用做分析一些自然過程的臨界狀態(tài),如器件承受的最大臨界壓力,臨界共振頻率等等。參考文獻[1] 沈忱，矩陣的三角分解及其應用研究，2010年22期，湖南農機學術版[2] 梅立泉，中子輸運問題源項反演的反冪法，2007年4期，西安交通大學學報[3] 王煥庭，矩陣的三角分解及其應用，2010年3期 [4] 劉葉玲， 實對稱矩陣特征值和特征向量的數(shù)值算法 2007年2期，西安科技大學學報[5] 向以華，矩陣的特征值與特征向量的研究，2009年3期，重慶三峽學校學報[6] 侯風波，求實方陣全部模最大的特征值及相應特征向量的規(guī)范化冪法，1991年1期，承德石油高等?？茖W校學報[7] 李建東，矩陣QR分解的三種方法，2009年1期，呂梁高等?？茖W校學報[8] 邵麗麗，矩陣的特征值和特征向量的應用研究，菏澤學院學報 2001年 1期[9] 張文華，冪法求解實非對稱矩陣特征值問題的注記，2002年4月出版 [10] 陳國軍，由Pad233。逼近求對稱三對角矩陣特征值的迭代解法，1997年2期 致謝通過較長時間對冪法的學習研究，以及對該論文的編寫，我已經對發(fā)生冪法求矩陣的特征值和特征向量的相關知識有了深刻的了解和認知，并對其在數(shù)學運用上更有較深的理解。論文期間，我得到了指導老師悉心的指導和熱情的幫助，老師教我的不僅僅是論文相關的理論知識，更重要的是在工作和學習中的勤勤懇懇和樂此不疲的態(tài)度和精神。 在此，我衷心的感謝指導和關心我的劉力軍老師，感謝他長期對我的諄諄教誨，感謝他對我論文編寫的耐心指導。沒有劉老師的幫助，論文進展就不會這么順利，很多復雜的問題也會使我進退維谷。這里，還要感謝答辯評委的所有老師和評閱老師，有了老師們的幫助，我的論文才能順利
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