【正文】 么根據(jù)上面的式子可以推出更新的抽頭權(quán)向量經(jīng)過 n次迭代的最小二乘估計)(nw? 如式（ 319）： )()()()1()()()()()()( 1ndnunPnznPnznPnznnw?????????? （ 319） 然后把 (319）化簡得出： )()()()1()1()()()1()1()( ndnunPnznPnunknznPnw H ?? ??????? )()()()1()1()()()1()1( 11 ndnunPnznnunknzn H ??? ????????? )()()()1()()()1( ndnunPnwnunknw H ??? ????? （ 320） 將 )()()( nunPnk ? 帶入得： )()()1()]1()()()[()1()(nnknwnwnundnknwnw H??????????????? （ 321） 其中令 )()1()()1()()()( nunwndnwnundn HT ?????? ?? ?? ,其代表先驗估計誤差，)()1( nunwH ?? 代表了 n1 時抽頭權(quán)值向量最小二乘估計舊值的期望響應(yīng) d(n)的估值。下圖 31 很好的表示這 RLS算法的這一過程。 西南科技大學(xué)本科 生畢業(yè)論文 21 橫 向 自 適 應(yīng) 濾 波 器自 適 應(yīng) 權(quán) 值 控 制 機 制 ∑+輸 入 向 量u ( n )期 望 響 應(yīng) d ( n )輸 出誤 差ξ ( n ) 圖 31 RLS 算法框圖 上面的幾個式子就組成了完整的 RLS算法 ,式（ 321）表示整個濾波器的濾波過程，可以根據(jù)這個式子對橫向濾波器計算先驗估計誤差 )(n? ，可以根據(jù)此算法的自適應(yīng)過程在過去值的基礎(chǔ)上來增加一個量來遞推抽頭權(quán)向量，此時這個量和先驗估計誤差 )(n? 復(fù)共軛與時變的增益向量 k(n)的乘積相等。其中， RLS算法的一個重要特性是：在每一次迭代中相關(guān)矩陣 )(n? 的逆矩陣是簡單的標(biāo)向量相除的值。圖 32 給出了整個 RLS 算法的信號流圖。 K ( n )∑ ∑+ 增 益單 位 負 反 饋d * ( n )ξ * ( n )ξ * ( n ) k ( n )y * ( n ) 圖 32 RLS 算法信號流圖 下面簡單的對 RLS 算法的整個過程做一個整理： 首先就是對所有的初始只進行初始化：令 0)0( ??w ， IP 1)0( ??? ，其中 ? 是表示一個常數(shù)，當(dāng)信噪比高時其值取較小的正常數(shù)，相反，當(dāng)信噪比較高時，其中則取對較大的正常數(shù)。 然后取得每個時刻時的 d(n)和 u(n) 之后在每個時刻都更新增益矢量， )(n? 是一個中間量，用來計算 k(n) )()1()( nunPn ??? )1( ?? nw )()1( nunwH ?? Iz1? )(nuH )(nw? )1( ?? nw 西南科技大學(xué)本科 生畢業(yè)論文 22 )()( )()( nnu nnk H ?? ??? 接下來就對濾波器的參數(shù)進行更新： )()()1()()()1()()(nnknwnwnunwndn H???????????? 最后每個時刻對逆矩陣進行更新： )1()()()1()( 11 ???? ?? nPnunknPnP H?? 以上總結(jié)了 RLS 算法的整個流程，在清楚了解了整個過程后，接下來將研究如 何應(yīng)用于具體的信道模型中，下圖 33就是基于 RLS 算法的實驗信道模型。 隨 機 噪 聲發(fā) 聲 器 1信 道∑∑ 隨 機 噪 聲發(fā) 聲 器 2延 時基 于 算 R L S 法的 自 適 應(yīng) 橫向 均 衡 器X nν （ n ） + 圖 33 基于 RLS 算法的自適應(yīng)均衡器信道模型框圖 可以看出基于 RLS 算法的自適應(yīng)均衡器的模型與 LMS 算法的有所相同， 系統(tǒng)中 仍然使用兩個隨機數(shù)發(fā)聲器，一個 用來產(chǎn)生 測試信號 nx ，是關(guān)于伯努利序列 1??nx ，其值同樣有零均值和單位方差。另一個表示模擬接收器中加性白噪聲的影響 )(nv ，其值也具有零均值，方差 2v? ，其中方差與信噪比有關(guān)。 兩個信號仍然相互獨立?；赗LS算法的自適應(yīng)均衡器也同樣用來改變信道畸變的情況，所以這需要用來上面總結(jié)的 RLS 算法的過程。這也是與 LMS 算法最根本的不同之處。 經(jīng)過合理的延遲，隨機發(fā)聲器 1也會提供用做訓(xùn)練序列的自適應(yīng)濾波器響應(yīng)。 同樣的首先 把加入到信道的隨機序列設(shè)為 ??nx ，由伯努利序列組成， 1??nx 且具有零均值和單位方差，令信道的脈沖響應(yīng)可以用升余弦表示 然后用 參數(shù) W是控制均衡器抽頭輸入的相關(guān)矩陣的特征值分布 )(R? 。其中 把均衡器的抽頭系數(shù) M設(shè)為 11， 利 西南科技大學(xué)本科 生畢業(yè)論文 23 用 信道脈沖響應(yīng) nh 的對稱與 均衡器的最優(yōu)抽頭權(quán)值 的對稱實現(xiàn)兩者 求卷積后得到均衡器的 期望響應(yīng)，通過選擇橫向濾波器中均衡器中點的合適延時 RLS 算法可以提供信道響應(yīng)最小相位分量和其值之逆 。在研究 RLS 算法的過程中為了方便研究將加權(quán)因子 λ的值設(shè)定為 1，并針對信噪比，特征值擴散度等參數(shù)變量來研究其性能的優(yōu)劣。具體的過程會在第四中詳細分析。 RLS 算法收斂分析 基于以上對 RLS 算法的分析推理，可以想到其方法與 LMS 算法有什么不同，兩種方法其實最大的性能差別就在收斂性的比較。下面 則需要 對 RLS 算法的收斂性做一個分析。為了對 RLS 算的收斂性進行分析，首先做出三個假設(shè)，為了方便研究討，在這三種假設(shè) 的情況下λ的值都設(shè)定是 1。 期望響應(yīng) d(n)與抽頭輸入向量 u(n)之間的關(guān)系可以用式（ 322）多重的線性回歸來描述，其中定義了回歸參數(shù)向量用 0w 表示，測量噪聲用 )(0ne 表示，其代表的是白噪聲（白噪聲的方差為 20? ，均值是 0，與回歸向量 u(n)無關(guān)）。 )()()( 0 nenuwnd H ?? （ 322） 輸入向量 u(n)是隨機生成的，而且 u(n)自相關(guān)函數(shù)是各態(tài)經(jīng)歷的。也就是說用時間平均來替代集平均，可以把輸入向量 u(n)的集平均相關(guān)矩陣寫車如下： )(1 nnR ?? 當(dāng) nM （ 323） 其中的 )(n? 是關(guān)于 u(n)的時間平均相關(guān)矩陣，其中 nM 是為了使橫向濾波器的 每個抽頭上都能夠有輸入信號，也就是說是將其近似的將隨著時間增加來改善其矩陣的值。 加權(quán)誤差向量 )(n? 的波動相對輸入向量 )(nu 的波動較慢。因為加權(quán)誤差向量)(n? 是 RLS 算法經(jīng)過 n 次迭代后多次累加的值，那么可以用式（ 324）表示： ?? ?? ???? ni iiknwwn 10 )()()0()()( ??? （ 324） 可以看出 k(i)和 )(i? 都和 u(i)有關(guān)系，但是上式對 )(n? 具有平滑作用，也可以 說， RLS 自適應(yīng)濾波器相當(dāng)于是 時變且低通濾波器?；谝陨系娜齻€假設(shè)，現(xiàn)在將對RLS算法的均值收斂性進行研究。首先可以先從 )(nw? 開始，可以知道： )()()( 1 nznnw ?? ?? nM (325) 其中當(dāng) 1?? 時可以得出： 西南科技大學(xué)本科 生畢業(yè)論文 24 )0()()()(1 ???? ??niH iuiun （ 326） ???? ni idnunz 1 )()()( （ 327） 然后應(yīng)用上面的假設(shè)一，也就是式（ 322），對式（ 327）整理得： ???????????????nininiHieiuwwnieiuwiuiunz10000101)()()0()()()()()()( （ 328） 因為 1?? ，所以可以寫成如下形式： ?????????????????????????niniieiunwnwneiunwnwnnnw1010101010101)()()()0()()()()()0()()()()( (329) 然后對式（ 329）的兩邊求期望，并將上面的兩個假設(shè)與其整理后可以得到： pnwwRnwwRnwnwE????????????0010010 )0(1)]([ Mn? (330) 其中 p代表的是期望響應(yīng) d(n)與輸入向量 u(n)之間的集平均互相關(guān)向量，從上面的式子可以看出 RLS 算法在均值方面是收斂的。當(dāng)滿足 n 大于 M時，因為初始化 )0(?的值，所以在 )(nw? 是有偏差的，只有當(dāng) n的值無限大時，偏差則趨近 0。下面再來看看 RLS 算 法的均方偏差，首先定義出加權(quán)誤差相關(guān)矩陣為： ]))())(([()]()([)( 00 HH nwwnwwEnnEnK ?? ???? ?? （ 331） 把上面所求的 )(nw? 的值帶入得： ])()()()()()([)( 1 1 0011 ? ?? ? ??? ??? ni nj H jejenjuiunEnK （ 332） 這個式子中忽略了初始化的影響，在第一個假設(shè)的情況下，可以知道輸入向量u(n)和 )(1n?? 與測量噪聲 )(0ne 沒有關(guān)系，所以將 K(n)用兩個期望表示為： ? ?)()()()()()()(001 1 11 jeieEnjuiunEnKninjH ?? ??? ?????? ??? ? ? （ 333） 西南科技大學(xué)本科 生畢業(yè)論文 25 在測量誤差時使用的是白噪聲，其方差為 20? ，根據(jù)第一個假設(shè)，可以得出有： ? ??? )()( 00 jeieE 所以加權(quán)誤差相關(guān)矩陣可以寫成： ?????? ??? ?? ??niH niuiunEnK11120 )()()()()( ? ? ?? ?)()()()(1201102nEnnnE??????????? （ 335） 最后利用第二個假設(shè)可以改寫為： 1201)( ?? RnnK ? nM （ 336） 最后 就 可以根據(jù)均方偏差的定義，如（ 327），用矩陣求逆算子表示 RLS 算法 的均方偏差，其中用 i? 表示集平均相關(guān)矩陣 R特征值如式（ 328）： )]([)]()([)( nKtrnnEn H ?? ??? （ 337） ??? ?? Mi inRtrnn 120210 11][1)( ???? nM （ 338） 從上面的式子可以得出以下兩點結(jié)論： 均方偏差 )(n? 是通過最小特征值 min? 的倒數(shù)來放大的，從更深的層面來講，就是對于一節(jié)近似中， RLS 算法對特征值擴散的銘感程度與最小特征值的倒數(shù)是成正比關(guān) 系的，所以通常情況下收斂性回受到病態(tài)最小二乘問題影響。 均方偏差 )(n? 與迭代次數(shù) n有關(guān)，兩者之間是一個線性衰減的關(guān)系，從另一方面來講就是說 RLS 算法得到的估計 )(nw? 是隨著時間線性的按照均方值收斂于多重線性回歸模型的參數(shù)向量 0w 。 本章小結(jié) 本章中導(dǎo)出了遞推的最小二乘 （ RLS）算法，可以看出 RLS 算法與 LMS 算法的區(qū)別就在于 LMS算法的步長參數(shù) u在 RLS算法中用濾波器的輸入矢量 x(n)的相關(guān)矩陣的逆替代了。另外針對 RLS 算法的收斂性做了分析及推理，可以看出總的來說 RLS 算雖然相對 LM