【導(dǎo)讀】信領(lǐng)域亦是如此。ISI是干擾時(shí)變通信質(zhì)量和傳輸速度的主要因素。通常把消除串?dāng)_的濾波器稱為均衡器，它其實(shí)就是一個(gè)逆濾波器通道。速通信，無線通信中會(huì)更加嚴(yán)重，從而信道均衡技術(shù)是成為了通信傳輸中不可缺少的。到降低信號(hào)失真的一種重要技術(shù)手段。本文介紹了自適應(yīng)均衡器的設(shè)計(jì)原則，結(jié)合遞歸最小二乘算法和最小均方算法。運(yùn)用MATLAB進(jìn)一步分析仿真實(shí)現(xiàn)這些算法的自適應(yīng)線性濾波器并分析其性能。Keywords：LMSalgorithm；Adaptive；Linearequalizer；RLSalgorithm

　　

【正文】 法導(dǎo)出 這里將討論最小二乘的一種遞歸實(shí)現(xiàn)方式。該 方法從給定的初始條件出發(fā)， 通過新的數(shù)據(jù)值對(duì)之前的數(shù)據(jù)進(jìn)行更新調(diào)整，所以這個(gè) 數(shù)據(jù)長(zhǎng)度是 不是固定的，而是有一定范圍 。數(shù)據(jù)的 長(zhǎng)度的范圍 與當(dāng)前觀測(cè)時(shí)刻 n 相對(duì)應(yīng)， 但是 橫向?yàn)V波器的階數(shù) 是 固不 變的 。也就是說，這里討論的是如何通過固定階數(shù)的線性橫向?yàn)V波器，利用可變長(zhǎng)度的數(shù)據(jù) x(1)， x(2)， ...，x(n)對(duì)期望響應(yīng) d(1)， d(2)， ...， d(n)進(jìn)行遞歸最小二乘估計(jì)的問題。 這里最小二乘準(zhǔn)則的代價(jià)函數(shù)（前加窗法）可表示為： 21( ) ( )n niin e i?????? （ 41） 式中， ? 為加權(quán)因子，其取值為 01???。 e(i)為 i 時(shí)刻濾波器的估計(jì)誤差。 根據(jù)第二章節(jié)中對(duì) 橫向?yàn)V波器的 理解 ，有： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )Te i d i d i d i w n x i????? （ 42） 式中： T x ( i ) = [ x( i ) ,x ( i 1) ,.. .,x ( i M+ 1) ] (43) 為 i時(shí)刻濾 波器的抽頭輸入向量； 0 1 1( ) [ ( ) , ( ) , . . . ( ) ]TMw n w n w n w n?? （ 44） 為濾波器的抽頭權(quán)向量。 輸入的數(shù)據(jù)隨 時(shí)刻 n 不斷變化 ， 這樣濾波器權(quán)向量系數(shù)就沒辦法一直收斂于最優(yōu)解， 如果 要讓 濾波器 一直處于 最佳狀態(tài) ，也就是說 代價(jià)函數(shù) ()n? 要一 22 直保持 最小， 這就要求 濾波器的權(quán)向量就應(yīng)隨時(shí)刻 n 發(fā)生相應(yīng)的改變 ，因此這里 的橫向?yàn)V波器 要有 時(shí)變的抽頭權(quán)向量 w(n)。而在 這個(gè) 區(qū)間 1 in?? 內(nèi)，橫向?yàn)V波器的抽頭權(quán)向量 不再發(fā)生變化 。 通過 對(duì) 矩陣求逆利用最小二乘批處理算法可以直接求出權(quán)向量最佳值，但是這種方法運(yùn)算量 很大，一般 為 3()OM ， 這么大的運(yùn)算量根本就 不 能 適 用于 實(shí)時(shí)濾波。采用遞推實(shí)現(xiàn)方法 就解決這一問題，就可以降低 運(yùn)算量。 11( ) ( 1 ) ( ) ( ) ( 1 )TC n C n g n x n C n????? ? ? ? （ 45） 式中， C(n)稱為逆相關(guān)矩陣； g(n)稱為增益向量。這個(gè)式子是 RLS 算法的 Riccati方程。 進(jìn)行整理可得： 1( ) ( ) ( ) ( )C n x n n x n??? （ 46） )()( nxng 陣變換的抽頭輸入向量為經(jīng)過相關(guān)矩陣的逆矩由此可見，增益向量 。 的遞歸計(jì)算接著?？紤]互相關(guān)向量 )( nz。 ( ) ( 1 ) ( ) ( )z n z n x n d n?? ? ? （ 47） 最后推導(dǎo)出最下二乘估計(jì)抽頭權(quán)向量的時(shí)間更新的遞推公式：( ) ( 1 ) ( ) ( ) ( 1 ) ( ) ( ) ( 1 ) ( ) [ ( ) ( ) ( 1 ) ]TTw n w n g n x n w n g n d n w n g n d n x n w n? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （ 48） 式中的內(nèi)積 ( 1)Tx wn? ? 是當(dāng)前時(shí)刻 n 的數(shù)據(jù)向量 x(n)利用 n1 時(shí)刻的抽頭權(quán)向量 ( 1)wn? ? 對(duì) 未知的 期望響 應(yīng) d(n)的一個(gè)揣測(cè) ，因此 ( ) ( 1)Td n x w n???是一個(gè) 揣測(cè) 誤差，用( 1)enn? 表示。由此看出， RLS 算法抽頭權(quán)向量是 用前一個(gè)的 值來推算出當(dāng)前值的修正量。 23 表 41 遞歸最小二乘算法流程 初始化： 1( 0 ) 0 , ( 0 ) ,w C I??? ???為小的正常數(shù) 遞歸計(jì)算： 對(duì)每一時(shí)刻計(jì)算 n=1， 2， ... 計(jì)算 11 ( 1 ) ( )() 1 ( ) ( 1 ) ( )TC n x ngn x n C n x n???? ?? ?? ()wn? ? ( 1 ) ( ) [ ( ) ( ) ( 1 ) ]Tw n g n d n x n w n??? ? ? ? 11( ) ( 1 ) ( ) ( ) ( 1 )TC n C n g n x n C n????? ? ? ? RLS 算法的收斂性 本節(jié)討論 穩(wěn)定 環(huán)境下 RLS 算法的收斂性。為了簡(jiǎn)化分析，令加權(quán)因子 ? =1。同時(shí)假設(shè)： ?期望響應(yīng) ()dn與抽頭輸入向量 ()un之間的關(guān)系可用多重線性回歸模型表示 00( ) ( ) ( )Td n w x n e n?? （ 49） 式中， 0 0 , 0 0 ,1 0 , 1[ , , ..., ]TMw w w w ?? 為回歸參數(shù)向量； 0()en是 平均數(shù) 為零 ，方 差為 20? 的白噪聲，與 ()xn 無關(guān)。 ?抽頭輸入向量 ()xn 由隨機(jī)過程生成， 它的 自相關(guān)函數(shù)具有 各態(tài)經(jīng)歷的隨機(jī)過程性 。輸入向量 ()xn 的統(tǒng)計(jì)平均自相關(guān)矩陣 可用如下形式 ： 1 ()Rnn?? nM? （ 410） 110 0 0 0[ ( ) ] [ ( ) ] ( 0 )E w n w E n w w R wn?? ??? ? ? ? ? ? nM? （ 411） 式中表明， RLS 算法的均值是收斂的。由于 (0) I???對(duì)算法進(jìn)行初始化， 使得 RLS算法所得的 ()wn? 有偏的。但是當(dāng) n 趨于無限大時(shí)，偏差將 逐漸 趨于零。 定義 RLS 算法權(quán)向量 ()wn? 所有的 誤差向量為 0( ) ( )n w n w? ??? （ 412） 通過以上的分析 ，可得 RLS 算法權(quán)向量的均方誤差為 24 12 1 200 01 1 1( ) [ ]Mw i in tr Rnn? ? ? ??????? ? nM? （ 413） 式中 ( 0,1,..., 1)i iM? ??是相關(guān)矩陣 R 的特征值?？梢钥闯觯?RLS 權(quán)向量的均方誤差()wn?? 隨遞推時(shí)刻 n 的增加而線性減小。同時(shí)還可以看出 ()wn?? 是由 相關(guān)矩陣 R 的最小特征值 min? 所決定的 。當(dāng) min? 很小時(shí)， ()wn??就會(huì) 很大， 這樣就 使得收斂性變差。 RLS 算法的期望學(xué)習(xí)曲線 RLS 算法的先驗(yàn)估計(jì)誤差 ( 1)enn? 為 e(n n1) = ( ) ( 1) ( )Td n w n x n??? （ 414） RLS 算法的期望學(xué)習(xí)曲線為 39。2( ) [ ( 1)]J n E e n n?? （ 415） 進(jìn)過一系列運(yùn)算后，得到 39。 2 1 2 2 20 0 0 0220xx1( ) [ ] [ ] MJ n tr R R tr I n? ? ? ????? ? ? ? ? ? nM? （ 416） 由此得到如下結(jié)論： ① RLS 算法學(xué)習(xí)期望曲線大約需要 2M 次迭代后 才得到 收斂。 ② 隨著迭代次數(shù) n 越來越大，最后趨于無限時(shí) ，先驗(yàn)估計(jì)誤差 39。()Jn趨于測(cè)量誤差 0()en的方差 20? 。也就是說 RLS 算 法在純理論依據(jù) 上 是 零失調(diào)。 ③ RLS 算法在均方意義上的收斂性與輸入向量相關(guān)矩 陣 R 毫無 無關(guān)。 RLS 算法的應(yīng)用 （ 1） 自適應(yīng)干擾對(duì)消。 （ 2） 系統(tǒng)辨別應(yīng)用。 （ 3） 多麥克風(fēng)降噪。 （ 4） 熱工過程對(duì)象建模；因?yàn)?RLS 算法的過熱氣溫在線性自適應(yīng)建模算法，能夠在未知環(huán)境下去跟蹤輸入向量隨時(shí)間變化的特性。 RLS 算法與 LMS 算法的比較 通過前面對(duì) RLS 算法及其性能的介紹，下面將 RLS 算法與 LMS 算法進(jìn)行比較，可得 25 出： ① 比較 RLS 與 LMS 算法的權(quán)向量迭代公式，可以看出 RLS 算法中的增益向量與 LMS 算法中的 ()xn? 的作用相似 ， 但是從 RLS 算法增益向量的表達(dá)式可以看出，在該增益向 量中與 LMS 算法中標(biāo)量 ? 相當(dāng)?shù)氖请S n 而變的方陣 [14]， 這 表明了 不同時(shí)刻 n ， RLS 算法中 權(quán)向量的每個(gè)元素的 自改變量全部 隨 下一個(gè) 新 的 數(shù)據(jù) 用 不同的步長(zhǎng)因子作 改變 ，而不是用同一 收斂 因子 ? 來調(diào)整。這表征了 RLS 算法調(diào)整的精細(xì)性及利用新信息的充分性。 ② 在 穩(wěn)定不變的 環(huán)境下，當(dāng)?shù)螖?shù) 近似 無限時(shí)， RLS 算法和 LMS 算法所得的權(quán)向量在統(tǒng)計(jì)平均的意義 是相等的 ， 換句話說， LMS 算法就是 RLS 算法。 但是 針對(duì) 收斂后的均方誤差 來說 ， LMS 算法 遠(yuǎn)遠(yuǎn)不如 RLS 算法。 ③ RLS 算法期望學(xué)習(xí)曲線經(jīng)過 2M 次迭代收斂，其收斂速度比 LMS 算法快一個(gè) 等 級(jí)。 ④ 根據(jù) RLS 算法公式可知， 基本 RLS 算法每次迭代需要 33 3 1MM??次乘法，一次除法和 222MM? 次加減法，即每次迭代運(yùn)算量為 2()OM ， 而 LMS 算法每次迭代的運(yùn)算量為O(M)，因此可以看出比起 LMS 算法， RLS 算法的運(yùn)算量 大得多 。 26 第五章 LMS 與 RLS 算法的性能仿真及分析 MATLAB 仿真 LMS 算法下的自適 應(yīng)濾波器，它的收斂因子 ? 是 ，采樣頻率為 1000Hz，模擬頻率為 10Hz，采樣次數(shù)為 1000。信道參數(shù)為 h=[， ， ，0， 854， ， ， ]；抽頭系數(shù)為 30 個(gè)。（代碼見附錄 1） 圖 51 為仿真結(jié)果： 圖 51 LMS 算法下的自適應(yīng)曲線 如圖 51 所示：其中藍(lán)色曲線代表理想輸入，也就是無干擾的輸入；而黃色曲線是已經(jīng)加入了信噪比為 30dB 高斯白噪聲后的輸入信 號(hào)，由此可見，信號(hào)的碼間干擾十分嚴(yán)重，輸入信號(hào)完全失真變形； 紅色曲線結(jié)果算法在自適應(yīng)濾波器，和理想信號(hào)比較，幾乎沒有錯(cuò)誤； 綠色曲線是誤差曲線，由圖可見，在迭代次數(shù)為 100 時(shí)， LMS 算法下的自適應(yīng)均衡器開始收斂到最優(yōu)解，達(dá)到了均衡作用。 下面來討論 不同 收斂因子 μ 的值，分析 LMS 算法收斂速度： （ 1） μ=： 27 圖 52 μ= 下的誤差曲線 如圖 52 所示：當(dāng) μ= 時(shí)，觀察誤差曲線，剛開始誤差非常大，大約需要迭代大約450 次， LMS 算法才收斂，才能夠達(dá)到均衡作用。 （ 2） μ= 圖 53 μ= 下的誤差曲線 如圖 53 所示，當(dāng) μ= 時(shí)，觀察誤差曲線，大約需要迭代 200 次才能夠是的 LMS算法收斂，達(dá)到均衡作用。 （ 3） μ= 28 圖 54 μ= 下的誤差曲線 如圖 54 所示， μ= 時(shí)， LMS 算法已不收斂，也就是達(dá)不到自適應(yīng)均衡的效果，不能補(bǔ)償新到的統(tǒng)計(jì)特性。同時(shí)，也說明了 μ 是有取值范圍 ，在這個(gè) 范圍 中， μ 決定了收斂速度。 一旦超過這個(gè)范圍，就沒有均衡的效果了。 對(duì)于橫向?yàn)V波器來說 ： 10( 1 ) ( )L??? ? 信 號(hào) 功 率 （ 51） 其中， L 是最后一個(gè)濾波權(quán)的指標(biāo) 。 MATLAB 仿真 RLS 算法下的自適應(yīng)濾波器，它加權(quán)因子 ? 是 ， 采樣頻率為1000Hz，模擬頻率為 10Hz，采樣次 數(shù)為 1000。信道參數(shù)為 h=[， ， ， 0，854， ， ， ]；抽頭系數(shù)為 30 個(gè)。如圖 55 所示： 29 圖 55 RLS 算法下的自適應(yīng)曲線 如圖 55 所示