【導(dǎo)讀】數(shù)字濾波器在數(shù)字信號處理中的應(yīng)用廣泛，是數(shù)字信號處理的重要基礎(chǔ)。入之間的均方誤差最小化,從而它可以實現(xiàn)最優(yōu)濾波。自適應(yīng)LMS算法是一種很有用且很簡單的估計梯度的方法,在信號處理。響著收斂時間，而且階數(shù)的大小也會大大地影響自適應(yīng)濾波器的性能。

　　

【正文】 應(yīng)該等于“現(xiàn)時刻”權(quán)系數(shù)向 ??kW 加上一個負(fù)均方誤差梯度??k?? 的比例項，即 ? ? ? ? ? ?kkWkW ???? ?1 式中， ? 是一個控 制收斂速度與穩(wěn)定性的常數(shù)，稱之為收斂因子 ??1 。 18 仿真的結(jié)果如下： 圖 最速下降法的仿真 從圖中我們可以看出，一開始 的時候誤差較大，隨著時間的增長，誤差逐漸減小，最后達(dá)到所允許的 誤差范圍內(nèi)。 LMS 算法的 MATLAB 仿真 基于 LMS 算法的自適應(yīng)濾波器設(shè)計 LMS 算法最核心的思想是用平方誤差代替均方誤差，其基本算法為 ? ? ? ? ? ? ? ?knXnenkWnkW ????? ?2,1, ， 其中， ? ?nkW , 和 ? ?1, ?nkW 分別為迭代前后的系數(shù)值 ； n 和 1?n 為前后兩個時 ； 1,1,0 ??? Mk ， M 為 濾 波 器 的 階 數(shù) ； ? 為收斂因子 ；? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?kXkWkdkWkXkdkykdke TT ?????? 為誤差信號， ? ?knX ? 為 19 輸入信號； ? ? ? ? ? ?kWkXky T? 為輸出 信號 [8] 。 在自適應(yīng)濾波器的實際操作中，一個必須注意的問題是自適應(yīng)步長的選擇。由 LMS 迭代算法可知，欲使 其收斂，則自適應(yīng)步長 ? 的取值范圍為 max0 ???? 。 通過實際的仿真可得出： 通過程序設(shè)定濾波器的理想輸入信號和噪聲輸入信號，疊加信號通過 LMS 自適應(yīng)濾波器濾波后，隨時間的增長，預(yù)測信號與實際信號之間的誤差將會越來越小，也即達(dá)到了根據(jù)外部變化，通過 LMS算法控制濾波參數(shù)，來追蹤實際信號的效果。 LMS 算法中正交性原理分析 在最速下降法中我們介紹到，在輸入信號和參考響應(yīng)都是隨即信號的情況下，自適應(yīng)線性 組合器的均方性能曲面是權(quán)矢量 W(n)的二次函數(shù)，由于自相關(guān)矩陣為正交矩陣，及成一向上凹的拋物面，即是二次均方函數(shù)有唯一的最小植。 然兒在實際的 LMS 算法中我們確沒有用到自相關(guān)距陣序列，而是依據(jù)輸入信號在跌代過程中估計梯度矢量，并更新權(quán)系數(shù)以達(dá)到最佳的自適應(yīng)算法，然而在 LMS算法中我們?nèi)绾蝸韺崿F(xiàn)這一最佳權(quán)系數(shù)的確定呢，由此引入正交原理 。 我們研究的自適應(yīng)濾波的目的是使系統(tǒng)能夠自我調(diào)節(jié)最終使輸出信號逼近于期望信號，也就是使期望響應(yīng)與輸出響應(yīng)的差值最小，理想誤差為 0 ，即： e(n)=d(n)y(n) 我們 任意 假設(shè)某一時刻的期望響應(yīng) d(n)與輸出響應(yīng) x(n 向量的大小和方向 然而由數(shù)學(xué)的勾股定理我們不難得出，要使 e(n)最小，那么必須使得 e(n)與 y(n)正交。 在自適應(yīng)濾波過程中，濾波器的輸出響應(yīng) y(n)隨權(quán)系數(shù) W 的調(diào)整，使輸出響應(yīng) y(n)在二位空間里逐漸逼近于期望響應(yīng) d(n)，當(dāng)輸出響應(yīng)逼近于期望響應(yīng)時即當(dāng)期望響應(yīng)相似于輸出響應(yīng) 時，在幾何圖解中即 d(n)是在 P 方向上的投影，y(n)為在 P方向上的向量，此時 e(n)與 y(n)正交。 此時均方誤差最小，又由 y(n)=x(n)tw(n)知道， y(n)為 w(n)與 x(n)的積，因此時的輸入響應(yīng) x(n)為已知且唯一的，那么此刻就存在且只有一個權(quán)系數(shù) W,即為濾波器的最佳權(quán)系數(shù)。 又因為 y(n)與 x(n)向量的方向相同 ，那么得到的 y(n)與 x(n)正交，由正交性質(zhì)：兩兩想正交則內(nèi)積為零。所以 2e(n)X(n)等于 0。推出 w(n+1)=w(n),既自適應(yīng)濾波器輸出響應(yīng)與期望響應(yīng)逼近后，濾波器的權(quán)系 數(shù)將不再改變，理想狀態(tài)下即誤差為零，最佳權(quán)系數(shù)也就確定。 20 LMS 算法的 MATLAB 程序 仿真 （ 1） 程序見 附錄 （ 2） 程序仿真結(jié)果如圖： 圖 由圖的仿真結(jié)果看出上述的 LMS 自適應(yīng)濾波程序能夠?qū)崿F(xiàn)期望的收斂狀態(tài)。 對 LMS 算法參數(shù)的分析研究 傳統(tǒng)的 LMS 算法具有計算量小，結(jié)構(gòu)簡單，易于實現(xiàn)等優(yōu)點，尤其是這種算法是最先由統(tǒng)計分析法導(dǎo)出的一種實用算法，它是一類自適應(yīng)濾濾波器的基 礎(chǔ)。在本小節(jié)中用 MATLAB 軟件對 LMS 的算法中的一些參數(shù)做認(rèn)真的研究，并總結(jié)出其對算法的影響。 （ 1）步長。步長 ? 是表征迭代快慢的物理量。由 LMS 算法可知，步長越大，自適應(yīng)時間越短，自適應(yīng)過程越快，但它引起的失調(diào)也越大，當(dāng) ? 大于 1/? max時， 21 系統(tǒng)發(fā)散；步長越小，系統(tǒng)越穩(wěn)定，失調(diào)越小，但是自適應(yīng)過程也相應(yīng)加長。因此，步長的選擇要從整個系統(tǒng)的要求出發(fā)，在滿足精度要求的前提下，盡 量減少自適應(yīng)時間。 可以通過對 一 程序中步長值大小的改動來觀察步長大小對于自適應(yīng)濾波器性能產(chǎn)生的影響 ： 1： 隨著步長增大時 ： 圖 由圖 知，當(dāng)步長很大是， LMS 算法將不能完成 收斂。 2： 當(dāng)步長過小時， 22 圖 比較圖 知 濾波器的預(yù)測誤差會很大，需要經(jīng)過很長的時間，才會達(dá)到所要求的狀態(tài)，這是不夠理想的，由此也證明了步長越小，收斂時間越長。 （ 2）濾波器的階數(shù) N。對于不同的濾波器階 數(shù)可得到不同的濾波效果 ： 1： 當(dāng)階數(shù)過小時 N=10 如圖有： 23 圖 N 減小時 會產(chǎn)生較大的預(yù)測誤差，這對濾波器的性能將是一個很大的影響。 2： 當(dāng) 階數(shù)過大 N=200 時，如圖： ， 24 圖 產(chǎn)生的影響將是可能導(dǎo)致 LMS算法 的 收斂，從而也就達(dá)不到所要求的狀態(tài)，無法準(zhǔn)確的跟蹤輸入信號。 小結(jié) 本章在介紹了自適應(yīng)濾波器出現(xiàn)的意義后，用 MATLAB 軟件對最速下降法和LMS 算法進(jìn)行了仿真，通過修改濾波波器的一些 參數(shù)來觀察這些參數(shù)對于自適應(yīng)濾波器性能的影響。 25 第五章 結(jié)論以及展望 濾波器在電子設(shè)備中已經(jīng)得到了很廣泛的應(yīng)用，而自適應(yīng)濾波器可以不必事先給定信號及噪聲的自相關(guān)函數(shù)，可以利用前一時刻已經(jīng)獲得的濾波器參數(shù)自動地調(diào)節(jié)當(dāng)前時刻的濾波參數(shù)，從而實現(xiàn)最優(yōu)濾波。自適應(yīng)濾波器 一直是學(xué)術(shù)界的重要研究課題。近年來，伴隨微電子技術(shù)和超大規(guī)模集成 電路技術(shù)的飛速發(fā)展又促進(jìn)了自適應(yīng)濾波技術(shù)的進(jìn)步。自適應(yīng)濾波技術(shù)由于對干擾頻率不敏感，而且其權(quán)值調(diào)整是基于對系統(tǒng)的優(yōu)化，所以越來越多的被人們所關(guān)注。 本文首先對濾波器的概念和類型做了一些 基本的論述，隨后提出了線性最優(yōu)濾波器，并簡單介紹了維納濾波器與卡爾曼濾波器，然后針對自適應(yīng)濾波器做了重點的描述，包括自適應(yīng)濾波器的基本結(jié)構(gòu)和原理等等。 其次，本文對最速下降法和 LMS 自適應(yīng)算法原理做了詳細(xì)的論述，并給出了推導(dǎo)，為了更好的研究 LMS 自適應(yīng)濾波器的性 能，我們選擇 MATLAB 仿真軟件進(jìn)行仿真，并在之后對將要用到的 MATLAB 仿真平臺進(jìn)行了簡略的介紹。 最后，通過編寫程序，我們實現(xiàn)了基于 MATLAB 仿真平臺的 LMS 自適應(yīng)濾波器，并通過一個去噪的實例來觀察其性能。通過對結(jié)果的分析，并通過修改自適應(yīng)濾波 器的步長和階數(shù)，我們可以看到這兩個參數(shù)能夠在很大程度上影響濾波器的性能。仿真實驗最后可以得出，步長過小會使收斂時間過慢，而步長過大又可能將導(dǎo)致 LMS 算法無法收斂，同樣，階數(shù)也必須滿足一定的條件，否則，濾波器同樣將無法達(dá)到要求。 26 參考文獻(xiàn) [1] 何振亞 . 自適應(yīng)信號處理，科學(xué)出版社 [2] 姚天任 ， 孫洪 . 現(xiàn)代數(shù)字信號處理，華中科技大學(xué)出版社 [3] 丁玉美 ， 高西全 . 數(shù)字信號處理 ， 西安 電子科技大學(xué)出版社 [4] 邱天爽 ， 魏東興 ， 唐洪 . 通信中的自適應(yīng)信號處理 ， 電子工業(yè)出版社 [5] 陳尚勤 ， 李小峰 . 快 速自適應(yīng)信息處理 ， 人民郵電出版社 [6] 賀寬，黃濤 . 基于 MATLAB 的自適應(yīng)濾波器設(shè)計，武漢理工大學(xué)學(xué)報 [7] 張圣勤 實用教程，機械工業(yè)出版社 27 附錄 1． LMS 自適應(yīng)濾波器的 程序如下： clear all clear all close all length=1000*8。%設(shè)置信號長度 N=100。%設(shè)置權(quán)的數(shù)量 a=zeros(1,length+N)。 for i=0:: if i==0 a=*cos(2*pi*i*(0:length+N1))。 else a=a+cos(2*pi*i*(0:length+N1))。%產(chǎn)生輸入信號 end end a=a39。 d=zeros(1,length+N)。 for i=0:: if i==0 d=d+.5*cos(2*pi*i*(0:length+N1))。 else d=d+cos(2*pi*i*(0:length+N1))。%產(chǎn)生期望信號 end end d=d39。 w=zeros(N,1)。 E=zeros(1,length)。 u=。 for i=1:length E(i)=d(i)a(i:i+N1)39。*w。 w=w+2*u*E(i)*a(i:i+N1)。%LMS算法 28 end figure:plot((1:length),E),title(39。誤差 39。)。% 誤差的變化情況 29 致謝 隨著本論文的完成，我 的大學(xué) 3 年 學(xué)習(xí)和生活即將結(jié)束了，回顧這 三 年來的一切，我非常感 謝帶過我的所有老師們，是他們在這 三 年當(dāng)中在學(xué)習(xí)上給了我巨大的幫助和指導(dǎo)，在生活中給予我許多的關(guān)懷。畢業(yè)在即，我要特別感謝 我的指導(dǎo)老師 趙老師 ，感謝 他 在畢業(yè)設(shè)計和畢業(yè)論文的過程中給我了很大的幫助與指導(dǎo)，令我受益匪淺。同時， 各位 老師認(rèn)真的工作作風(fēng)，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué) 態(tài)度與孜孜不倦的科研精神深深的觸動了我，這些將激勵我在以后無論是 生活中，學(xué)習(xí)中，還是工作中都要踏踏實實，積極上進(jìn)，成為我受用一生的寶貴財富。 同時，我也要感謝所有參加我畢業(yè)論文答辯的老師們，以及所以幫助過我的老師和同學(xué)。