【正文】 ? ?? ? ? 8 令 ? ? 0??k ，即可求出最佳僅系數(shù)向量： xdxxopt RRW 1?? () 將 Wopt代入式 ()得最小均方誤差： ? ?? ? ? ?? ? optxdT WRkdEkE ?? 22? 利用（ ）式求最佳權(quán)系數(shù)向量的精確解需要知道 xxR 和 xdR 的先驗(yàn)統(tǒng)計(jì)知識(shí)，而且還需要進(jìn)行矩陣求逆等運(yùn)算。 不難看出， LMS 算法有兩個(gè)關(guān)鍵：梯度的計(jì)算以及收斂因子的選擇。 ? 的選擇 :對權(quán)系數(shù)向量更新公式（ ）兩邊取數(shù)學(xué)期望，得 9 ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ?? ? ? ?? ?xdxxTRkWERIkWXkdkXEkWEkXkEkWEkWE?????22221????????? 式中， I 為單位矩陣， xxR ? ? ? ?? ?kXXkXE TT? 和 ? ? ? ?? ?kdkXER xd ? 。 基本 LMS 自適應(yīng)算法如下： 初始化： ? ? 。 + + + W2(k) + + + y(k) X(kM+1) X(k) WM1(k) Wo(k) W1(k) Z1 Z1 Z1 ∑ + LMS 自適應(yīng)算法 12 第三章 仿真軟件 MATLAB 簡介 MATLAB 的概況 MATLAB 是矩陣實(shí)驗(yàn)室（ Matrix Laboratory）之意。 功能工具包用來擴(kuò)充MATLAB 的符號計(jì)算 ， 可視 化建模仿真 ,文字處理及實(shí)時(shí)控制等功能 。 MATLAB 產(chǎn)生的歷史背景 在 70 年代中期 ， Cleve Moler 博士和其同事在美國國家科學(xué)基金的資助下開發(fā)了調(diào)用 EISPACK 和 LINPACK 的 FORTRAN 子程序庫 。 Cleve Moler 給這個(gè)接口程序取名為 MATLAB， 該名為矩陣 (matrix)和實(shí)驗(yàn)室 (laboratory)兩個(gè)英 文單詞的前三個(gè)字母的組合 .在以后的數(shù)年里 ， MATLAB 在多所大學(xué)里作為教學(xué)輔助軟件使用 ，并作為面向大眾的免費(fèi)軟件廣為流傳 。 這一 13 代的 MATLAB 語言同時(shí)具備了數(shù)值計(jì)算和數(shù)據(jù)圖示化的功能 。 MathWorks 公司順應(yīng)多功能需求之潮流 ，在其卓越數(shù)值計(jì)算和圖示能力 的基礎(chǔ)上 ， 又率先在專業(yè)水平上開拓了其符號計(jì)算 ， 文字處理 ， 可視化建模和實(shí)時(shí)控制能力 ， 開發(fā)了適合多學(xué)科 ， 多部門要求的新一代科技應(yīng)用軟件 MATLAB。 MATLAB的出現(xiàn)，為各國科學(xué)家開發(fā)學(xué)科軟件提供了新的基礎(chǔ)。在歐美等高校， MATLAB 已經(jīng)成為線性代數(shù)，自動(dòng)控制理論，數(shù)理統(tǒng)計(jì)，數(shù)字信號處理，時(shí)間序列分析，動(dòng)態(tài)系統(tǒng)仿真等高級課程的基本教學(xué)工具；成為攻讀學(xué)位的大學(xué)生，碩士生，博士生必須掌握的基本技能。 MATLAB 的語言特點(diǎn) 一種語言之所以能如此迅速地普及，顯示出如此旺盛的生命力，是由于它有著不同于其他語言的特點(diǎn)，正如同 FORTRAN 和 C 等高級語言使人們擺脫了需要直接對計(jì)算機(jī)硬件資源進(jìn)行操作一樣，被稱作為第四代計(jì)算機(jī)語言的MATLAB，利用其豐富的函數(shù)資源，使編程人員從繁瑣的程序代碼中解放出來。以下簡單介紹一下 MATLAB 的主要特點(diǎn)?？梢哉f，用 MATLAB 進(jìn)行科技開發(fā)是站在專家的肩膀上。解線性方程的麻煩在于要對矩陣的元素作循環(huán)，選擇穩(wěn)定的算法以及代碼的調(diào)試動(dòng)不容易。 MATLAB 求解下列方程，并求解矩陣 A的特征 值。 2. 運(yùn)算符豐富。例如，在 MATLAB 里，用戶無需 15 對矩陣預(yù)定義就可使用。 MATLAB 還具有較強(qiáng)的編輯圖形界面的能力。 MATLAB 包含兩個(gè)部分：核心部分和各種可選的工具箱。功能性工具箱用于多種學(xué)科。開放性也許是 MATLAB 最受人們歡迎的特點(diǎn)。 開始 問題定義 編寫程序 執(zhí)行仿真 分析結(jié)果 結(jié)果滿意？ 分析問題所在 結(jié)束 17 第四章 LMS 自適應(yīng)濾波器的 MATLAB 實(shí)現(xiàn) 自適應(yīng)濾波器出現(xiàn)的意義 自適應(yīng)濾波器與普通的濾波器不同，它的沖激響應(yīng)或?yàn)V波參數(shù)是隨外部環(huán)境的變化而改變的，經(jīng)過一段自動(dòng)調(diào)節(jié)的收斂時(shí)間達(dá)到最佳濾波的要求。 LMS 算法是一種隨機(jī)梯度算法，它在相對于抽頭權(quán)值的誤差信號平方幅度的梯度方向上迭代調(diào)整每個(gè)抽頭權(quán)值。因此 ，自適應(yīng)濾波器成功地應(yīng)用于諸如通信，控制，雷達(dá)，聲納，地震和生物醫(yī)學(xué)工程等諸多領(lǐng)域。最速下降法是實(shí)現(xiàn)上述最佳搜索的一種優(yōu)化技術(shù)，它利用梯度信息分析自適應(yīng)濾波性能和追蹤最佳濾波狀態(tài)。 在自適應(yīng)濾波器的實(shí)際操作中，一個(gè)必須注意的問題是自適應(yīng)步長的選擇。 然兒在實(shí)際的 LMS 算法中我們確沒有用到自相關(guān)距陣序列，而是依據(jù)輸入信號在跌代過程中估計(jì)梯度矢量，并更新權(quán)系數(shù)以達(dá)到最佳的自適應(yīng)算法，然而在 LMS算法中我們?nèi)绾蝸韺?shí)現(xiàn)這一最佳權(quán)系數(shù)的確定呢，由此引入正交原理 。 又因?yàn)?y(n)與 x(n)向量的方向相同 ，那么得到的 y(n)與 x(n)正交，由正交性質(zhì)：兩兩想正交則內(nèi)積為零。 對 LMS 算法參數(shù)的分析研究 傳統(tǒng)的 LMS 算法具有計(jì)算量小，結(jié)構(gòu)簡單，易于實(shí)現(xiàn)等優(yōu)點(diǎn)，尤其是這種算法是最先由統(tǒng)計(jì)分析法導(dǎo)出的一種實(shí)用算法，它是一類自適應(yīng)濾濾波器的基 礎(chǔ)。由 LMS 算法可知，步長越大，自適應(yīng)時(shí)間越短，自適應(yīng)過程越快，但它引起的失調(diào)也越大，當(dāng) ? 大于 1/? max時(shí)， 21 系統(tǒng)發(fā)散；步長越小，系統(tǒng)越穩(wěn)定，失調(diào)越小，但是自適應(yīng)過程也相應(yīng)加長。 （ 2）濾波器的階數(shù) N。 25 第五章 結(jié)論以及展望 濾波器在電子設(shè)備中已經(jīng)得到了很廣泛的應(yīng)用，而自適應(yīng)濾波器可以不必事先給定信號及噪聲的自相關(guān)函數(shù)，可以利用前一時(shí)刻已經(jīng)獲得的濾波器參數(shù)自動(dòng)地調(diào)節(jié)當(dāng)前時(shí)刻的濾波參數(shù)，從而實(shí)現(xiàn)最優(yōu)濾波。 本文首先對濾波器的概念和類型做了一些 基本的論述，隨后提出了線性最優(yōu)濾波器，并簡單介紹了維納濾波器與卡爾曼濾波器，然后針對自適應(yīng)濾波器做了重點(diǎn)的描述，包括自適應(yīng)濾波器的基本結(jié)構(gòu)和原理等等。仿真實(shí)驗(yàn)最后可以得出，步長過小會(huì)使收斂時(shí)間過慢，而步長過大又可能將導(dǎo)致 LMS 算法無法收斂，同樣，階數(shù)也必須滿足一定的條件，否則，濾波器同樣將無法達(dá)到要求。 for i=0:: if i==0 a=*cos(2*pi*i*(0:length+N1))。 for i=0:: if i==0 d=d+.5*cos(2*pi*i*(0:length+N1))。 E=zeros(1,length)。 w=w+2*u*E(i)*a(i:i+N1)。% 誤差的變化情況 29 致謝 隨著本論文的完成，我 的大學(xué) 3 年 學(xué)習(xí)和生活即將結(jié)束了，回顧這 三 年來的一切，我非常感 謝帶過我的所有老師們，是他們在這 三 年當(dāng)中在學(xué)習(xí)上給了我巨大的幫助和指導(dǎo)，在生活中給予我許多的關(guān)懷。 。同時(shí)， 各位 老師認(rèn)真的工作作風(fēng)，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué) 態(tài)度與孜孜不倦的科研精神深深的觸動(dòng)了我，這些將激勵(lì)我在以后無論是 生活中，學(xué)習(xí)中，還是工作中都要踏踏實(shí)實(shí)，積極上進(jìn)，成為我受用一生的寶貴財(cái)富。誤差 39。 for i=1:length E(i)=d(i)a(i:i+N1)39。%產(chǎn)生期望信號 end end d=d39。%產(chǎn)生輸入信號 end end a=a39。%設(shè)置信號長度 N=100。 最后，通過編寫程序，我們實(shí)現(xiàn)了基于 MATLAB 仿真平臺(tái)的 LMS 自適應(yīng)濾波器，并通過一個(gè)去噪的實(shí)例來觀察其性能。近年來，伴隨微電子技術(shù)和超大規(guī)模集成 電路技術(shù)的飛速發(fā)展又促進(jìn)了自適應(yīng)濾波技術(shù)的進(jìn)步。 2： 當(dāng) 階數(shù)過大 N=200 時(shí)，如圖： ， 24 圖 產(chǎn)生的影響將是可能導(dǎo)致 LMS算法 的 收斂，從而也就達(dá)不到所要求的狀態(tài)，無法準(zhǔn)確的跟蹤輸入信號。 可以通過對 一 程序中步長值大小的改動(dòng)來觀察步長大小對于自適應(yīng)濾波器性能產(chǎn)生的影響 ： 1： 隨著步長增大時(shí) ： 圖 由圖 知，當(dāng)步長很大是， LMS 算法將不能完成 收斂。 （ 1）步長。推出 w(n+1)=w(n),既自適應(yīng)濾波器輸出響應(yīng)與期望響應(yīng)逼近后，濾波器的權(quán)系 數(shù)將不再改變，理想狀態(tài)下即誤差為零，最佳權(quán)系數(shù)也就確定。 在自適應(yīng)濾波過程中，濾波器的輸出響應(yīng) y(n)隨權(quán)系數(shù) W 的調(diào)整，使輸出響應(yīng) y(n)在二位空間里逐漸逼近于期望響應(yīng) d(n)，當(dāng)輸出響應(yīng)逼近于期望響應(yīng)時(shí)即當(dāng)期望響應(yīng)相似于輸出響應(yīng) 時(shí)，在幾何圖解中即 d(n)是在 P 方向上的投影，y(n)為在 P方向上的向量，此時(shí) e(n)與 y(n)正交。 通過實(shí)際的仿真可得出： 通過程序設(shè)定濾波器的理想輸入信號和噪聲輸入信號，疊加信號通過 LMS 自適應(yīng)濾波器濾波后，隨時(shí)間的增長，預(yù)測信號與實(shí)際信號之間的誤差將會(huì)越來越小，也即達(dá)到了根據(jù)外部變化，通過 LMS算法控制濾波參數(shù)，來追蹤實(shí)際信號的效果。 18 仿真的結(jié)果如下： 圖 最速下降法的仿真 從圖中我們可以看出，一開始 的時(shí)候誤差較大，隨著時(shí)間的增長，誤差逐漸減小，最后達(dá)到所允許的 誤差范圍內(nèi)。當(dāng)濾波器工作在平穩(wěn)隨機(jī)過程的環(huán)境下，這個(gè)誤差性能曲面就具有固定邊緣的恒定形狀。凡是需要處理未知統(tǒng)計(jì)環(huán)境下運(yùn)算結(jié)果所產(chǎn)生的信號或需要處理非平穩(wěn)信號時(shí)，自適應(yīng)濾波器可提供一種十分吸引人的解決方法，而且其性能遠(yuǎn)優(yōu)于用常規(guī)方法設(shè)計(jì)的固定濾波器。依賴于這類早期工作，出現(xiàn)了最小均方 (LMS)算 法，它成為運(yùn)行橫向?yàn)V波器的一種簡單而有效的算法。 MATLAB 仿真的基本流程 使用 MATLAB 軟件進(jìn)行仿真的基本操作流程如下圖所示，用戶首先要進(jìn)行問題定義， 考慮自己要仿真什么東西，大概的算法應(yīng)該怎樣，然后按照算法編寫程序，生成 .m 文件后運(yùn)行，如果結(jié)果是我們的預(yù)期，那么整個(gè)仿真過程即可順利結(jié)束，否則，應(yīng)該分析問題所在，并重新考慮問題定義、源碼修改的必要性。這些工具箱都是由該領(lǐng)域內(nèi)學(xué)術(shù)水平很高的專家編寫的，所以用戶無需編寫自己學(xué)科范圍內(nèi)的基礎(chǔ)程序，而直接進(jìn)行高，精，尖的研究。其工具箱又分為兩類：功能性工具箱和學(xué)科性工具箱。由于 MATLAB 的程序不用編譯等預(yù)處理，也不生成可執(zhí)行文件，程序?yàn)榻忉寛?zhí)行，所