【導(dǎo)讀】導(dǎo)下進行的研究工作及取得的成果。盡我所知，除文中特別加以標(biāo)注和致謝。為獲得及其它教育機構(gòu)的學(xué)位或?qū)W歷而使用過的材料。有權(quán)保存畢業(yè)設(shè)計（論文）的印刷本和電子版，并提供目錄檢索與閱覽服務(wù)；目的前提下，學(xué)校可以公布論文的部分或全部內(nèi)容。自適應(yīng)濾波器是統(tǒng)計信號處理的一個重要組成部分。在實際應(yīng)用中，由于沒有充足。凡是需要處理未知統(tǒng)計環(huán)境下運算結(jié)果所產(chǎn)生的信號或需。遠優(yōu)于用常方法設(shè)計的固定濾波器。此外，自適應(yīng)濾波器還能提供非自適應(yīng)方法所不可。能提供的新的信號處理能力。闡述了自適應(yīng)濾波器的基本原理、算法及設(shè)計方法。本文中，對兩種最基本的自適應(yīng)算法，即遞歸最小二乘和最小均方誤差。算法進行了詳細的介紹和分析，并針對兩種算法的優(yōu)缺點進行了詳細的比較。適應(yīng)濾波器的優(yōu)缺點。最終采用改進的RLS算法設(shè)計FIR結(jié)構(gòu)自適應(yīng)濾波器，并采用。實驗結(jié)果表明，該自適應(yīng)濾波器濾波效果優(yōu)越。

　　

【正文】 IIR 濾波器的基本結(jié)構(gòu)，其輸入為 ??xn，輸出為 ??yn，濾波器由可變系數(shù) IIR 濾波器和遞歸算法組成，遞歸算法通過預(yù)測誤差 ??en去調(diào)系數(shù) ??n? ，以使輸出 y(n)按某種準(zhǔn)則逼近于期望響應(yīng) ??dn。 ? 為描述濾波器具有零點和極點轉(zhuǎn)移函數(shù)的系數(shù)參數(shù)。濾波 器輸出誤差 ??en = ??dn ??yn是按某種準(zhǔn) 則，如均方誤差 (MSE)或遞歸最小二乘 (RLS)準(zhǔn)則等，使 ??2en最小化，可 調(diào)整 IIR 系數(shù)使輸出信號 ??yn逼近于期望響應(yīng) ??dn。 圖 31 自適應(yīng) IIR濾波器 方程誤差結(jié)構(gòu)形式自適應(yīng) IIR濾波器 圖 32 為方程誤差自適應(yīng) IIR 濾波器的結(jié)構(gòu)框圖，其差分方程表示式如式 (31)，可以看出，它被描述為非遞歸差分方程形式： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ??? ?? ???? 11 10Nm mMmme mnxnbmndnany (31) 基于 RLS 算法的自適應(yīng)濾波器的設(shè)計與實現(xiàn) 20 顯然，這里 ??nam ， ??nbm 都是待調(diào)整的系數(shù)，下標(biāo)“ e”表示方程誤差法以區(qū)別輸出誤差方法。 圖 32 方程誤差結(jié)構(gòu)形式 從式中可以看出，這是由兩個輸入單個輸出組成的濾波器。兩個輸為樣本輸入 ??xn和期望輸入 ??dn，輸出樣本沒有反饋回輸入端。所以，出 ??nye 是系數(shù)的線性函數(shù)，這大大簡化了梯度類算法，因為 ??dn， ??xn是系數(shù)的函數(shù)，則 ??nye 對系數(shù)的導(dǎo)數(shù)是非遞歸的，且易于計算。 利用延遲算子，式 (31)可重新表述成更方便的形式： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?nxqnBndqnAny e , ?? (32) 式中，多項式表示時變?yōu)V波器，且有： ? ? ? ???? ?? 11, Nm mm qnaqnA ， 1,1 ?? Nm ? (33) ? ? ? ???? ?? 10, Mm mm qnbqnB ， 1,1,0 ?? Mm ? (34) 吉林化工學(xué)院畢業(yè)設(shè)計說明書 21 值得注意的是 ? ?,Anq 中求和的下界從 m=1開始，因此 ? ? ? ?,A n q d n 僅依賴于 ??dn的延遲樣本，這種形式的表示法可用于 在任何瞬時發(fā)現(xiàn)自適應(yīng)濾波器 ? ?,Anq 的零點。例如圖 32 中，在每次系數(shù)更新后和系數(shù) ??nam 被復(fù)制到逆濾波器 ? ?1/ 1 ,A n q????之前，有必要檢測 ? ?1 ,A n q????的零點，以確定逆濾波器是否是一穩(wěn)定系統(tǒng)。如果不是穩(wěn)定系統(tǒng)，則應(yīng)采取某種措施，如在逆濾波器形成之前將它的根投影到單位圓內(nèi)等。 方程誤差 ? ? ? ? ? ?nyndne ee ?? 也是濾波器系數(shù)的線性函 數(shù)，因此， ??nee 的均方函數(shù)是系數(shù)的二次函數(shù)。如果數(shù)據(jù)的相關(guān)陣非奇異，僅有一個全局最小點，則在很大程度上使方程誤差自適應(yīng) IIR 濾波器都像一個自適應(yīng) FIR 濾波器。而它們之間最主要的區(qū)別在于，方程誤差自適應(yīng) IIR 濾波器把逆濾波器 ? ?1/ 1 ,A n q????級聯(lián)到 ? ?,Bnq 之后，它就是一個零點－極點模型，而自適應(yīng) FIR 濾波器因 ? ?,Anq =0，是一個嚴(yán)格的全零點模 型。 方差誤差自適應(yīng) IIR 濾波器與自適應(yīng) FIR 濾波器具有相似的自適應(yīng)算法和相似的收斂性解，收斂速度和系數(shù)的穩(wěn)定性都是由 Hessian 矩陣的特征值決定的。 差分方程式 (31)還可以表示成內(nèi)積的矩陣形式： ? ? ? ?nny eTe ??? (35) 上式右邊的系數(shù)矢量θ和信號矢量 ??ne? 的長度都是 M+N1，并分別定義為： ? ? ? ? ? ? ? ?? ?TMN nbnbanan 1011 ??? ??? (36) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?Te MnxnxNndndn 111 ?????? ??? (37) 表達式 (35)具有線性回歸的形式，θ為對應(yīng)于待估計的參數(shù)， e? 稱為包含測量數(shù)據(jù)的回歸矢量。這樣表示的結(jié)果使得可以利用數(shù)理統(tǒng)計中的參數(shù)估計方法來對系數(shù)θ進行優(yōu)化，如用最大似然參數(shù)估計均方誤差方法、最小均方誤差 (LMS)算法和遞歸最小二乘(RLS)方法 等。 基于 RLS 算法的自適應(yīng)濾波器的設(shè)計與實現(xiàn) 22 IIR 濾波器的一般結(jié)構(gòu) 根據(jù)前面所介紹的 IIR 濾波器的傳遞函數(shù)可表示為： ? ? ? ?? ?zB zAzH ? (38) 假設(shè)濾波器有 m個零點， n 個極點，且濾波器參數(shù)可調(diào)，這樣 ??Hz可寫為： ? ? nnkkmmkkkzbzb zazaazH ??????? ???? ? ?111101 (39) 圖 33 畫出了 IIR 濾波器的一般結(jié)構(gòu)，其輸入為 x，輸出為 u。 圖 33 IIR濾波器的一般結(jié)構(gòu) 因此濾波器輸出可表示為以下形式： ?? ? ?? ? ?? Nl klkMl lkklk ubxau 1 10 (310) 有限沖激響應(yīng)（ FIR） 濾波器 FIR 橫向型濾波器的一般結(jié)構(gòu) 如圖 34 所示。這種結(jié)構(gòu)僅包含有由延遲級數(shù)所決定的有限個存儲單元，可歸結(jié)為有限沖激響應(yīng)（ FIR）或橫向濾波器（ Kallman）。輸入信號被若干 延遲單元延時，其延遲時間可以是連續(xù)的。這些延遲單元的輸出與存儲的一組權(quán)系數(shù)依次相乘，將其乘積相加得到輸出信號。這意味著輸出是輸入信號與所存儲的權(quán)系數(shù)或沖激響應(yīng)的卷積。這種濾波結(jié)構(gòu)僅包含有零點（因為沒有遞歸反饋單元），因此，若要獲得銳截止的頻率特性，吉林化工學(xué)院畢業(yè)設(shè)計說明書 23 則需要有大量的延遲單元。不過，這種濾波器始終是穩(wěn)定的，并能提供線性相位特性。圖 34 是橫向型濾波器的結(jié)構(gòu)示意圖。 圖 34 橫向型濾波器的結(jié)構(gòu)示意圖 FIR 橫向性濾波器的工作原理 如圖 34 所示， 其中： ??xn自適應(yīng)濾波器的輸入 ??wn自適應(yīng)濾波器的沖激 相應(yīng)： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?1,2,1,0 ?? nwnw ? (311) ??yn自適應(yīng)濾波器的輸入： ? ? ? ? ? ?y n x n w n?? (312) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?10NTiiy n W n X n w n x n i??? ? ?? (313) 最常用的自適應(yīng)算法是最小均方誤差算法，即 LMS 算法 ， LMS 算法是一種易于實現(xiàn)、性能穩(wěn)健、應(yīng)用廣泛的算法。所有的濾波器系數(shù)調(diào)整算法都是設(shè)法使 ??yn接近 ??dn,基于 RLS 算法的自適應(yīng)濾波器的設(shè)計與實現(xiàn) 24 所不同的只是對于這種接近的評價標(biāo)準(zhǔn)不同。 LMS 算法的目標(biāo)是通過調(diào)整系數(shù)，使輸出誤差序列 ??en= ??dn ??yn的均方差最小，并且根據(jù)這個判據(jù)來修改權(quán)系數(shù)，該算法也因此而得名。誤差序列的均方值又叫 “均方誤差 ”。 均方誤差 e 定義為： ?e )]([ 2 neE = ])()([( 2nyndE ? (314) 對于橫向結(jié)構(gòu)的濾波器，代入 )(ny 的表達式為： PnWnRWnWndEe TT )(2)()()]([ 2 ??? (315) 其中 ? ?)()( nXnXER T? 為 NN? 的自相關(guān)矩陣，它是輸入信號采樣值間的相關(guān)性矩陣。 ? ?)()( nXndEP ? 為 1?N 互相關(guān)矢量，代表期望信號 )(nd 與輸入矢量的相關(guān)性。 在均方誤差 e 達到最小時，得到最佳權(quán)系數(shù) ? ?TNW * 1*1*0* , ?? ? 。它應(yīng)滿足下列方程 0)( *)( ?? ? ?WnWnW ? 即： 0* ??PRW (316) 這是一個線性方程組，如果矩陣 R 為滿秩的， 1?R 存在，可得到權(quán)系數(shù)的最佳值滿足 PRW 1* ?? (317) 用完整的矩陣表示為： ???????????????????????????????????????????? ?? )1()1()0()0()2()1()2()0()1()1()1()0( 1*)1(*1*0NNNNNwwwxdxdxdxxxxxxxxxN ?????????????????????? (318) 吉林化工學(xué)院畢業(yè)設(shè)計說明書 25 顯然 ? ? ? ? ? ?? ?mnxnxEmx ??? 為 ?nx 的自相關(guān)值， ? ? ? ? ? ?? ?kndnxERxd ??? 為 ?nx 與??nd 互相關(guān)值。在有些應(yīng)用中，把輸入信號的采樣值分成相同的段（每段稱為一幀），再求出 R 、 P 的估計值得到每幀的最佳權(quán)系數(shù)。這種方法稱為塊對塊自適應(yīng)算法。如語音信號的線性預(yù)測編碼 LPC 就是把語音信號分成幀進行處理的。 R 、 P 的計算，要求出期望值 E，在現(xiàn)實運算中不容易實現(xiàn)，為此可通過下試進行估計： ? ? ? ?? ?? ?? ?????? 101 mk ixd imndinxmK? (319) ? ?? ???? ?????? 10 )(1 mkix imnxinxmK? (320) 用以上方法獲得最佳 *W 運算量很大，對于一些在線或?qū)崟r應(yīng)用的場合，無法滿足其時間要求。大多數(shù)場合使用迭代算法，對每次采樣值就求出較佳權(quán)系數(shù)，稱為采樣值對采樣值迭代算法。迭代算法可以避免復(fù)雜的 1?R 和 P 的運算，又能實時求得近似解，因而切實可行。 LMS 算法是以最快下降曲線為原則進行的迭代算法，即 ? ?1?nW 矢量是??nW 矢量按均方誤差性能平面的負斜率大小調(diào)節(jié)一個相應(yīng)增量，如下式所示： ? ? ? ? ? ?nunWnW ???? 1 (321) 式中 u 是由系統(tǒng)穩(wěn)定和迭代運算收斂速度決定的自適應(yīng)步長。 ??n? 為 n 次迭代的梯度。對于 LMS 算法 ??n? 為下式 ? ?? ?neE 2 的斜率。 ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ?? ?nXneEnW neEn 22 ?????? (322) 由上式產(chǎn)生了求解最佳權(quán)系數(shù) *W 的兩種方法，一種是最陡梯度法。其思路為：設(shè)計初始權(quán)系數(shù) ??0W ，用 ? ? ? ? ? ?nunWnW ???? 1 迭代公式計算，到 ? ?1?nW 與 ??nW 誤差小于規(guī)定范圍。其中 ??n? 的 ??E 計算可用估計值表達式為： 基于 RLS 算法的自適應(yīng)濾波器的設(shè)計與實現(xiàn) 26 ? ? ? ?? ? ? ? ? ?inXineKnXneE Ki ??? ???? 101 (323) 上式 K 取值應(yīng)足夠大。如果用瞬時 ? ? ? ?nXne2? 來代替上面對 ? ? ? ?? ?nXneE2? 的估計運算，就產(chǎn)生了另一種算法 ——隨機梯度法，此時迭代公式為： ? ? ? ? ? ? ? ?nXnuenWnW 21 ??? (324) 上式的迭代公式假定濾波器結(jié)構(gòu)為橫向結(jié)構(gòu)。對于對稱橫向型結(jié)構(gòu)也可推出類似的迭代公式，如下式所示： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?121 ?????? NnXnXnuenWnW (325) IIR濾波器和 FIR 濾波器的比較 自適應(yīng)技術(shù)廣泛地應(yīng)用于自適應(yīng)控制、雷達、系統(tǒng)辯識和信號處理等領(lǐng)域。自適應(yīng)濾波器由參數(shù)可調(diào)的數(shù)字濾波器 (或稱為自適應(yīng)處理器 ) 和自適應(yīng)算法兩部分組成，參數(shù)可調(diào)的數(shù)字濾波器可以是 FIR 數(shù)字濾波器或 IIR 數(shù) 字濾波器，也可以是格型數(shù)字濾波器。輸入信號 ??xn 通過參數(shù)可調(diào)的數(shù)字濾波器后產(chǎn)生輸出信號 (或響應(yīng) ) ??yn ，將其與參考信號 (或稱期望響應(yīng) ) ??dn 進行比較，形成誤差信號 ??en 。 (有時還要利用 )通過某種自適應(yīng)算法對濾波器參數(shù)進行調(diào)整 ,最終使 ??en 的均方值最小。在設(shè)計 時不需要事先知道關(guān)于輸入信號和噪聲的統(tǒng)計特性的知識，它能夠在自己的工作過程中逐漸“了解”或估計出所需的統(tǒng)計特性 ,并以此為依據(jù)自動調(diào)整自己的參數(shù) ,以達到最佳濾波效果。一旦輸入信號的統(tǒng)計特性發(fā)生變化，它又能夠跟蹤這種變化 ,自動調(diào)整參數(shù) ,使濾波器重新達到最佳。 介于上述對兩種不同類型結(jié)構(gòu)的濾波器的介紹，我們有了大概的一個了解！ FIR 濾波器的最主要的特點是沒有反饋回路，故不存在不穩(wěn)定的問題 。同時，可以在幅度特性是隨意設(shè)置的同時，保證精確的線性相位。穩(wěn)定和線性相位特性是 FIR濾波器的突出優(yōu)點。另外，它還有以下特點：設(shè) 計方式是線性的 。硬件容易實現(xiàn)；濾波器過渡過程具有有限區(qū)間；相對 IIR 濾波器而言，階次較高，其延遲也要比同樣性能 IIR 濾波器大得多。 IIR 濾波器的首要優(yōu)點是可在相同階數(shù)時取得更好的濾波效果。但是 IIR 濾波器設(shè)計方法的一個缺點是無法控制濾波器的相位特性。由于極點會雜散到穩(wěn)定區(qū)域之外，自適應(yīng) IIR 濾波器設(shè)計中 碰到的一個大問題是濾波器可能不穩(wěn)定。因此，一般采用 FIR 濾波器作為自適應(yīng)濾波器的結(jié)構(gòu)。 吉林化工學(xué)院畢業(yè)設(shè)計說明書 27 第 4 章 基于 MATLAB 實現(xiàn)自適應(yīng)濾波器 MATLAB 語言介紹 當(dāng)計算涉及矩陣運算或畫圖時，利用 FOTRRAN和 C 語言等計算機語言進行程序設(shè)計是一項很麻煩得工作，不僅需要對所利用的有關(guān)算法有深刻的了解，還需要熟練掌握所用語言的語法和編程技巧， MATLAB正是為了免除上述局面產(chǎn)生的，它是集命令翻譯，科學(xué)計算于一身的一套交互軟件系統(tǒng)，在 MATLAB下，矩陣的運算變得異常的容易，后來又增添了豐富多彩的圖形處理及多媒體功能，使得 MATLAB的應(yīng)用范圍越來越廣泛。 MATLAB 具有強大的語言功能，它允許用戶以數(shù)學(xué)形式的語言編寫程序，比 BASIC、FOTRRAN 和 C 等語言更接近于書寫計算公式的思維方式。它的操作和功能函數(shù)指令 是以平時計算機和數(shù)學(xué)書上的簡單英文單詞表達的。由于它在很長一段時間內(nèi)是用 C 語言開發(fā)的，它的不多的幾個程序流控制語句同語言差別甚微，初學(xué)者很容易掌握。 MATLAB語言的幫助系統(tǒng)也近乎完備，用戶可以方便的查詢到想要的各種信息。另外，MATLAB 還專門為初學(xué)者提供了功能演示窗口，用戶可從中得到感興趣的例子和演示。 為了準(zhǔn)確地把一個控制系統(tǒng)的復(fù)雜模型輸入給計算機，然后對之進行進一步的分析與仿真， MATLAB提供了新的控制系統(tǒng)模型圖形輸入與