【導讀】指導教師評語（①基礎理論及基本技能的掌握；②獨立解決實際問題的能力；解調信號并利于數(shù)字實現(xiàn)是近年研究的新課題。在通信領域，自適應算法在自適。應均衡、自適應頻率跟蹤與檢測等方面的應用比較成熟。隨著研究的深入，發(fā)現(xiàn)。信息，取得比常用相干解調更理想的性能，易于DSP實現(xiàn)。然后就LMS自適應濾波器在系統(tǒng)辨識、自回歸過程的自。簡介自適應濾波器原理中的維納濾波器和最陡下降法兩個內容。的性能和步長因子對算法性能的影響。

　　

【正文】 以計算梯度矢量 )(n? 。 然后把式 ()代入 式 ()中，可以計算出濾波系數(shù)的更新值： ?,2,1,0)]。([)()1( ????? nnRnn wPww ? () 上式是描述最陡下降法的數(shù)學公式，由此可得到信號流圖，如圖 所示，式 ()右邊可以整理寫成 )()( nR wI ?? 項加上 P? ，這里 I 是 MM? 單位矩陣，而濾波系數(shù)矢量 )(nw 可 以 為 由 )1( ?nw 經(jīng) 過 單 位 延 時 算 子 1?z 得 到 的 ，即 中國礦業(yè)大學 2020 屆本科畢業(yè)設計 第 12 頁 )]1([)( 1 ?? ? nzn ww 。 R??IΣP? )1( ?nw I1?z )( nw 圖 最陡下降算法的信號流圖 (SFG) 算法穩(wěn)定性 由圖 可見，最陡下降算法含有反饋的模型，存在穩(wěn)定性問題。它的穩(wěn)定性能取決于兩個因素： (1) 自適應步長參數(shù) ? ； (2) 輸入信號矢量 )(nx 的自相關矩陣 R 。上述兩個參數(shù)完全控制著反饋回路的轉移函數(shù)。我們可以分 析自適應濾波系數(shù)矢量的更新公式，將其與最佳維納解 0w 相比較，令自適應濾波系數(shù)的誤差矢量 )(nw? 定義為 0)()( ??? nn () 則最陡下降算法式 ()可寫成另一種方式： )()()()( ))(()()1( nRnRn nRnn wIww wPww ??????? ?????? ?? ? () 根據(jù)矩陣理論中酉相似度變換法，用酉矩陣 Q 將相關矩陣 R 對角線化，即 ?? HR () 式中， ? 為對角線矩陣，它的元素是 R 的特征值。 矩陣 Q 的列矢量是相關矩陣 R 特征值所表示的特征矢量的正交集。酉矩陣 Q性質是 I ?? HH ，實對稱矩陣 ?H 。 用 Q 乘以 ()兩邊，得到 )()()1( nn HHH wQIwQ ?????? ? () 或 )()()1( nn vIv ???? ? () 其中 )()( nn H wQv ?? ，為旋轉參數(shù)矢量或旋轉濾波系數(shù)誤差，上 角符號 “H ”表示復數(shù)共軛轉置。 )(nv 的起始值為 )0()()1( 1 vIv ????? nn ? () 由此可把式 ()右邊推算寫成 )0()()1( 1vIv ????? nn ? () 中國礦業(yè)大學 2020 屆本科畢業(yè)設計 第 13 頁 把單位矩陣 I 和 對角線矩陣 ? 展開，上式變?yōu)? )()1(000)1(000)1()1(11211nnnMnnvv ???????????????????????????????????? ()上式表明，為了保證最陡下降算法的收斂性，矩陣中每個元素 Mkk ,2,1,1 ??? ??的絕對值必須小于 1，由此得到算法穩(wěn)定的收斂條件為 max20 ???? () 式中， max? 是相關矩陣 R 的最大特征值。在此 條件下，對角線矩陣中全部元素當 ??n 而趨于零，結果使 0)1( ??nv 。當 n 很大，這意味著自適應濾波系數(shù)矢量趨近于最佳維納解。 自調整過程 自適應濾波器的濾波系數(shù)矢量通過算法控制加以更新，實質上是一種自學習和自訓練的過程。在滿足式 ()的收斂條件下，將使它由任意起始值趨步向最佳維納解逼近。這是一個自適應或自調節(jié)過程，在這個過程中，均方誤差 (MSE)或旋轉系數(shù)誤差將由它們的起始值 逐步衰減而趨近零或某個最小值，這是自適應回路內所存在的瞬態(tài)性質。通常用時間常數(shù)來描述順便過程的長短，而時間常數(shù)又取決于什么因素呢 ?下面我們就來分析這個問題。 自適應濾波器目標函數(shù)是以均方誤差定義的，它是濾波系數(shù)矢量 w 的二次方程，由式 ()可寫成 wwPw TT Rn d ??? 2)( 2?? () wwPw ????? RTTm i n? () 式中， 2d? 是期望信號 )(nd 的方差，假定它的均值為零； min? 為由維納解 0w 提供的最小均值誤差值，即 Pw Td 02m in ???? 。再由式 ()和式 ()可以得到某一瞬時刻 n 的均方誤差函數(shù) )(n? 的表達式： )()( )()()( m inm in nn nnn TTTvv ww ??? ????? ??? () 式中， wQv ?? T 為旋轉參數(shù)矢量。 如果將上式右邊第二項展開成元素乘積和，并以公式 ()的關系代入，便得到 )()( 21m in nvn iMi i???? ??? () 中國礦業(yè)大學 2020 屆本科畢業(yè)設計 第 14 頁 )0()1( 21m in iiMi i v???? ?? ??? () 式中， )0(。,2,1,1)1( ii vMi ???? ?? 是濾波系數(shù)矢量第 i 個分量的起始值。因此，最陡下降法使自適應濾波器中均方誤差 )(n? 的差值 min)( ?? ?n 隨著時間迅速下降(衰減 )。 對于自適應濾波系數(shù)來說，由式 ()和式 ()可以寫成 Minvnv iii ?,2,1)。()1()1( ???? ?? () 和 )0()1()( inii vnv ???? () 對比式 ()與式 ()可以看出，濾波器系數(shù)對最佳濾波值 0w 的偏差值也是瞬變的和接近指數(shù)律衰減的，但衰減速率沒有均方誤差值衰減速率快。如果用時間常數(shù)來描述上述瞬變特性時，由濾波系數(shù)偏差值，按最陡下降算法逐次迭代運算時間衰減的時間常數(shù) i? 來估算，它可以這樣求得如下： 首先，用式 ()表征幾何級數(shù)在 不同時間的值，如圖 所示，假設單位時間等于一次迭代周期持續(xù)時間。然后，令式 ()表征旋轉濾波系數(shù)相鄰時間的瞬時值的比值，等于 )1( i??? ，則由圖 的指數(shù)包絡可以選擇時間常數(shù) i? ，如下式所示： )1exp(1 ii ??? ??? () ????? 2!2 111 ii ?? () 24 6 8 1 0 1 20)( nv i )0(iv n 圖 最陡下降算法第 i個旋轉系數(shù)隨時間 的變化值 （ 11 ?? i?? ） 因此，時間常數(shù) i? 等于 )1ln( 1 ii ??? ??? () 1,1 ??? ??? i () 顯然，式 ()是由式 ()右邊略去高次項所得的近似結 果。這里時間 中國礦業(yè)大學 2020 屆本科畢業(yè)設計 第 15 頁 常數(shù) i? 表明第 i 個 )(nvi 幅值衰減到起始值 )0(iv 的 e1 倍所需的時間，其中 e 為自然對數(shù)的底數(shù)。 時間常數(shù) i? 正如電路理論所表征的特性，它可以描述自適應濾波器濾波系數(shù)自調整過程的瞬態(tài)性質。當自適應步長 ? 滿足式 ()所規(guī)定的收斂條件，它的值越大，自適應收斂時間就越短，自適應過程就越快。 自適應濾波器結構 數(shù)字濾波器按照單位采樣響應時間可以分為 FIR(Finite duration Impulse Response)和 IIR(Infinite duration Impulse Response)。通常我們稱 FIR 濾波器為有限脈沖響應濾波器， IIR 濾波器為無限脈沖響應濾波器。同時， FIR 和 IIR 又有多種實現(xiàn)結構，如橫向結構濾波器、格式結構濾波器、級聯(lián)結構濾波器、 并聯(lián)結構濾波器等。在選擇自適應濾波器結構時，除了要看用途和各結構的特點外，還要考慮其它因素。自適應濾波器是通過控制參數(shù)來使濾波器保持最佳濾波狀態(tài)的，而最佳濾波參數(shù)和信號的統(tǒng)計特性有關，所以最佳參數(shù)應表示為信號統(tǒng)計特性的函數(shù)。如果濾波器的結構合理，這個函數(shù)就簡單，否則函數(shù)就會變得復雜。簡單的函數(shù)使得濾波器能快速的更新滋參數(shù)。圖 所示為的一種橫式結構，權系數(shù)與濾波器輸出是線性關系，此結構在自適應濾波器中應用普遍。 FIR 的格型結構也是一種常用的結構。任何一種可以用橫向濾波器實現(xiàn)的 FIR濾波器同樣可以用格型結 構實現(xiàn)。格型濾波器的參數(shù)與系統(tǒng)函數(shù)沒有簡單的對應關系，但利用 LevisionDurbin 算法仍然可以用信號的統(tǒng)計特性簡單的表示。由于實現(xiàn) IIR 濾波器的結構的最佳參數(shù)不容易用信號的統(tǒng)計特性簡單的表示，所以 IIR濾波器在自適應濾波中的使用受到一定的限制。 本章小結 維納濾波器是隨機信號處理過程中經(jīng)常用到的線性最優(yōu)濾波器，它是自適應濾波器的基礎。本章首先從維納最優(yōu)濾波器開始介紹，介紹了維納最優(yōu)濾波的基本思想。第二部分介紹了最速下降算法，并對它的穩(wěn)定性分析進行了歸納概括。第三部分介紹了數(shù)字信號處理中濾波器的 基本結構。 中國礦業(yè)大學 2020 屆本科畢業(yè)設計 第 16 頁 3 最小均方算法及 Matlab 仿真分析 基本最小均方算法 如第二章所述，最陡下降算法不需要指導誤差特性曲面的先驗知識，其算法就能收斂到最佳維納解，且與起始條件無關。但是最陡下降算法的主要限制是它需要準確測得每次迭代的梯度矢量，這妨礙了它的應用。為了減少計算復雜度和縮短自適應收斂時間，許多學者對這方面的新算法進行了研究。 1960 年，美國斯坦福大學的 Widrow 等提出了最小均方 (LMS)算法，這是一種用瞬時值估計梯度矢量的方法，即 )()(2)()]([)(? 2nnennenxw?????? () 可見，這種瞬時估計法是無偏的，因為它的期望值 )](?[ nE? 確實等于式 ()的梯度矢量 )(n? 。所以，按照自適應濾波器濾波系數(shù)矢量的變化與梯度矢量估計的方向之間的關系，可以寫出 LMS 算法的公式如下： )](?[21)(?)1(? nnn ????? ?ww () )()()(? nnen xw ??? () 如果式 ()與式 ()代入到上式中，則可得到 )()()(?)]()([ )()(?)()[()(?)1(? ndnnnn nnndnnn HHxwxxI xwxww ?? ? ??? ???? () 由上式可以得到自適應 LMS 算法的信號流圖，這是一個具有反饋形式的模型，如圖 所示。如同最陡下降算法，我們利用時間 0?n 的濾波系數(shù)矢量為任意的起始值 )0(w ，然后開始 LMS 算法的計算，其步驟如下。 )(nx ? )(ne )(nd??? )( nHx)1( ?nw )w n(I I1?z 圖 自適應 LMS算法信號流圖 中國礦業(yè)大學 2020 屆本科畢業(yè)設計 第 17 頁 (1) 由現(xiàn)在時刻 n 的濾波器濾波系數(shù)矢量估值 )(?nw ，輸入信號矢量 )(nx 以及期望信號 )(nd ，計算誤差信號： )(?)()()( nnndne H wx?? () (2) 利用遞歸法計算濾波器系數(shù)矢量的更新估值： )()()(?)1(? nnenn xww ???? () (3) 將時間指數(shù) n 增加 1，回到步驟 (1)，重復上述計算步驟，一直到達穩(wěn)態(tài)為止。 由此可見 ， 自適應 LMS 算法簡單，它即不要計算輸入信號的相關函數(shù)，又不要求矩陣之逆，因而得到了廣泛的應用。但是，由于 LMS 算法采用梯度矢量的瞬時估計，它有大的方差 ， 以至 不能獲得最優(yōu)濾波性能。下面我們來分析 LMS 算法的性能。 自適應收斂性 自適應濾波器系數(shù)矢量的起始值 )0(w 是任意的常數(shù)，應用 LMS 算法調節(jié)濾波系數(shù)具有隨機性而 系數(shù)矢量 )(nw 帶來非平穩(wěn)過程，通常為了簡化 LMS 算法的統(tǒng)計分析，往往假設算法連續(xù)迭代之間存在以下的充分條件： (1) 每 個 輸 入 信 號 樣 本 矢 量 )(nx 與 過 去 全 部 樣 本 矢 量)(kx 1,1,0, ?? nk ? ， 是統(tǒng)計獨立的。不相關的，既有 1,1,0。0)]()([ ??? nkknE H ?xx () (2) 每個輸入信號樣本矢量 )(nx 與 全部過去的期望信號1,1,0),( ?? nkkd ?也是統(tǒng)計獨立的，不相關的。既有 1,1,0。0)]()([ ??? nkkdnE ?x () (3)