【導(dǎo)讀】指導(dǎo)教師評(píng)語（①基礎(chǔ)理論及基本技能的掌握；②獨(dú)立解決實(shí)際問題的能力；解調(diào)信號(hào)并利于數(shù)字實(shí)現(xiàn)是近年研究的新課題。在通信領(lǐng)域，自適應(yīng)算法在自適。應(yīng)均衡、自適應(yīng)頻率跟蹤與檢測等方面的應(yīng)用比較成熟。隨著研究的深入，發(fā)現(xiàn)。信息，取得比常用相干解調(diào)更理想的性能，易于DSP實(shí)現(xiàn)。然后就LMS自適應(yīng)濾波器在系統(tǒng)辨識(shí)、自回歸過程的自。簡介自適應(yīng)濾波器原理中的維納濾波器和最陡下降法兩個(gè)內(nèi)容。的性能和步長因子對(duì)算法性能的影響。

　　

【正文】 以計(jì)算梯度矢量 )(n? 。 然后把式 ()代入 式 ()中，可以計(jì)算出濾波系數(shù)的更新值： ?,2,1,0)]。([)()1( ????? nnRnn wPww ? () 上式是描述最陡下降法的數(shù)學(xué)公式，由此可得到信號(hào)流圖，如圖 所示，式 ()右邊可以整理寫成 )()( nR wI ?? 項(xiàng)加上 P? ，這里 I 是 MM? 單位矩陣，而濾波系數(shù)矢量 )(nw 可 以 為 由 )1( ?nw 經(jīng) 過 單 位 延 時(shí) 算 子 1?z 得 到 的 ，即 中國礦業(yè)大學(xué) 2020 屆本科畢業(yè)設(shè)計(jì) 第 12 頁 )]1([)( 1 ?? ? nzn ww 。 R??IΣP? )1( ?nw I1?z )( nw 圖 最陡下降算法的信號(hào)流圖 (SFG) 算法穩(wěn)定性 由圖 可見，最陡下降算法含有反饋的模型，存在穩(wěn)定性問題。它的穩(wěn)定性能取決于兩個(gè)因素： (1) 自適應(yīng)步長參數(shù) ? ； (2) 輸入信號(hào)矢量 )(nx 的自相關(guān)矩陣 R 。上述兩個(gè)參數(shù)完全控制著反饋回路的轉(zhuǎn)移函數(shù)。我們可以分 析自適應(yīng)濾波系數(shù)矢量的更新公式，將其與最佳維納解 0w 相比較，令自適應(yīng)濾波系數(shù)的誤差矢量 )(nw? 定義為 0)()( ??? nn () 則最陡下降算法式 ()可寫成另一種方式： )()()()( ))(()()1( nRnRn nRnn wIww wPww ??????? ?????? ?? ? () 根據(jù)矩陣?yán)碚撝杏舷嗨贫茸儞Q法，用酉矩陣 Q 將相關(guān)矩陣 R 對(duì)角線化，即 ?? HR () 式中， ? 為對(duì)角線矩陣，它的元素是 R 的特征值。 矩陣 Q 的列矢量是相關(guān)矩陣 R 特征值所表示的特征矢量的正交集。酉矩陣 Q性質(zhì)是 I ?? HH ，實(shí)對(duì)稱矩陣 ?H 。 用 Q 乘以 ()兩邊，得到 )()()1( nn HHH wQIwQ ?????? ? () 或 )()()1( nn vIv ???? ? () 其中 )()( nn H wQv ?? ，為旋轉(zhuǎn)參數(shù)矢量或旋轉(zhuǎn)濾波系數(shù)誤差，上 角符號(hào) “H ”表示復(fù)數(shù)共軛轉(zhuǎn)置。 )(nv 的起始值為 )0()()1( 1 vIv ????? nn ? () 由此可把式 ()右邊推算寫成 )0()()1( 1vIv ????? nn ? () 中國礦業(yè)大學(xué) 2020 屆本科畢業(yè)設(shè)計(jì) 第 13 頁 把單位矩陣 I 和 對(duì)角線矩陣 ? 展開，上式變?yōu)? )()1(000)1(000)1()1(11211nnnMnnvv ???????????????????????????????????? ()上式表明，為了保證最陡下降算法的收斂性，矩陣中每個(gè)元素 Mkk ,2,1,1 ??? ??的絕對(duì)值必須小于 1，由此得到算法穩(wěn)定的收斂條件為 max20 ???? () 式中， max? 是相關(guān)矩陣 R 的最大特征值。在此 條件下，對(duì)角線矩陣中全部元素當(dāng) ??n 而趨于零，結(jié)果使 0)1( ??nv 。當(dāng) n 很大，這意味著自適應(yīng)濾波系數(shù)矢量趨近于最佳維納解。 自調(diào)整過程 自適應(yīng)濾波器的濾波系數(shù)矢量通過算法控制加以更新，實(shí)質(zhì)上是一種自學(xué)習(xí)和自訓(xùn)練的過程。在滿足式 ()的收斂條件下，將使它由任意起始值趨步向最佳維納解逼近。這是一個(gè)自適應(yīng)或自調(diào)節(jié)過程，在這個(gè)過程中，均方誤差 (MSE)或旋轉(zhuǎn)系數(shù)誤差將由它們的起始值 逐步衰減而趨近零或某個(gè)最小值，這是自適應(yīng)回路內(nèi)所存在的瞬態(tài)性質(zhì)。通常用時(shí)間常數(shù)來描述順便過程的長短，而時(shí)間常數(shù)又取決于什么因素呢 ?下面我們就來分析這個(gè)問題。 自適應(yīng)濾波器目標(biāo)函數(shù)是以均方誤差定義的，它是濾波系數(shù)矢量 w 的二次方程，由式 ()可寫成 wwPw TT Rn d ??? 2)( 2?? () wwPw ????? RTTm i n? () 式中， 2d? 是期望信號(hào) )(nd 的方差，假定它的均值為零； min? 為由維納解 0w 提供的最小均值誤差值，即 Pw Td 02m in ???? 。再由式 ()和式 ()可以得到某一瞬時(shí)刻 n 的均方誤差函數(shù) )(n? 的表達(dá)式： )()( )()()( m inm in nn nnn TTTvv ww ??? ????? ??? () 式中， wQv ?? T 為旋轉(zhuǎn)參數(shù)矢量。 如果將上式右邊第二項(xiàng)展開成元素乘積和，并以公式 ()的關(guān)系代入，便得到 )()( 21m in nvn iMi i???? ??? () 中國礦業(yè)大學(xué) 2020 屆本科畢業(yè)設(shè)計(jì) 第 14 頁 )0()1( 21m in iiMi i v???? ?? ??? () 式中， )0(。,2,1,1)1( ii vMi ???? ?? 是濾波系數(shù)矢量第 i 個(gè)分量的起始值。因此，最陡下降法使自適應(yīng)濾波器中均方誤差 )(n? 的差值 min)( ?? ?n 隨著時(shí)間迅速下降(衰減 )。 對(duì)于自適應(yīng)濾波系數(shù)來說，由式 ()和式 ()可以寫成 Minvnv iii ?,2,1)。()1()1( ???? ?? () 和 )0()1()( inii vnv ???? () 對(duì)比式 ()與式 ()可以看出，濾波器系數(shù)對(duì)最佳濾波值 0w 的偏差值也是瞬變的和接近指數(shù)律衰減的，但衰減速率沒有均方誤差值衰減速率快。如果用時(shí)間常數(shù)來描述上述瞬變特性時(shí)，由濾波系數(shù)偏差值，按最陡下降算法逐次迭代運(yùn)算時(shí)間衰減的時(shí)間常數(shù) i? 來估算，它可以這樣求得如下： 首先，用式 ()表征幾何級(jí)數(shù)在 不同時(shí)間的值，如圖 所示，假設(shè)單位時(shí)間等于一次迭代周期持續(xù)時(shí)間。然后，令式 ()表征旋轉(zhuǎn)濾波系數(shù)相鄰時(shí)間的瞬時(shí)值的比值，等于 )1( i??? ，則由圖 的指數(shù)包絡(luò)可以選擇時(shí)間常數(shù) i? ，如下式所示： )1exp(1 ii ??? ??? () ????? 2!2 111 ii ?? () 24 6 8 1 0 1 20)( nv i )0(iv n 圖 最陡下降算法第 i個(gè)旋轉(zhuǎn)系數(shù)隨時(shí)間 的變化值 （ 11 ?? i?? ） 因此，時(shí)間常數(shù) i? 等于 )1ln( 1 ii ??? ??? () 1,1 ??? ??? i () 顯然，式 ()是由式 ()右邊略去高次項(xiàng)所得的近似結(jié) 果。這里時(shí)間 中國礦業(yè)大學(xué) 2020 屆本科畢業(yè)設(shè)計(jì) 第 15 頁 常數(shù) i? 表明第 i 個(gè) )(nvi 幅值衰減到起始值 )0(iv 的 e1 倍所需的時(shí)間，其中 e 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)。 時(shí)間常數(shù) i? 正如電路理論所表征的特性，它可以描述自適應(yīng)濾波器濾波系數(shù)自調(diào)整過程的瞬態(tài)性質(zhì)。當(dāng)自適應(yīng)步長 ? 滿足式 ()所規(guī)定的收斂條件，它的值越大，自適應(yīng)收斂時(shí)間就越短，自適應(yīng)過程就越快。 自適應(yīng)濾波器結(jié)構(gòu) 數(shù)字濾波器按照單位采樣響應(yīng)時(shí)間可以分為 FIR(Finite duration Impulse Response)和 IIR(Infinite duration Impulse Response)。通常我們稱 FIR 濾波器為有限脈沖響應(yīng)濾波器， IIR 濾波器為無限脈沖響應(yīng)濾波器。同時(shí)， FIR 和 IIR 又有多種實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)，如橫向結(jié)構(gòu)濾波器、格式結(jié)構(gòu)濾波器、級(jí)聯(lián)結(jié)構(gòu)濾波器、 并聯(lián)結(jié)構(gòu)濾波器等。在選擇自適應(yīng)濾波器結(jié)構(gòu)時(shí)，除了要看用途和各結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)外，還要考慮其它因素。自適應(yīng)濾波器是通過控制參數(shù)來使濾波器保持最佳濾波狀態(tài)的，而最佳濾波參數(shù)和信號(hào)的統(tǒng)計(jì)特性有關(guān)，所以最佳參數(shù)應(yīng)表示為信號(hào)統(tǒng)計(jì)特性的函數(shù)。如果濾波器的結(jié)構(gòu)合理，這個(gè)函數(shù)就簡單，否則函數(shù)就會(huì)變得復(fù)雜。簡單的函數(shù)使得濾波器能快速的更新滋參數(shù)。圖 所示為的一種橫式結(jié)構(gòu)，權(quán)系數(shù)與濾波器輸出是線性關(guān)系，此結(jié)構(gòu)在自適應(yīng)濾波器中應(yīng)用普遍。 FIR 的格型結(jié)構(gòu)也是一種常用的結(jié)構(gòu)。任何一種可以用橫向?yàn)V波器實(shí)現(xiàn)的 FIR濾波器同樣可以用格型結(jié) 構(gòu)實(shí)現(xiàn)。格型濾波器的參數(shù)與系統(tǒng)函數(shù)沒有簡單的對(duì)應(yīng)關(guān)系，但利用 LevisionDurbin 算法仍然可以用信號(hào)的統(tǒng)計(jì)特性簡單的表示。由于實(shí)現(xiàn) IIR 濾波器的結(jié)構(gòu)的最佳參數(shù)不容易用信號(hào)的統(tǒng)計(jì)特性簡單的表示，所以 IIR濾波器在自適應(yīng)濾波中的使用受到一定的限制。 本章小結(jié) 維納濾波器是隨機(jī)信號(hào)處理過程中經(jīng)常用到的線性最優(yōu)濾波器，它是自適應(yīng)濾波器的基礎(chǔ)。本章首先從維納最優(yōu)濾波器開始介紹，介紹了維納最優(yōu)濾波的基本思想。第二部分介紹了最速下降算法，并對(duì)它的穩(wěn)定性分析進(jìn)行了歸納概括。第三部分介紹了數(shù)字信號(hào)處理中濾波器的 基本結(jié)構(gòu)。 中國礦業(yè)大學(xué) 2020 屆本科畢業(yè)設(shè)計(jì) 第 16 頁 3 最小均方算法及 Matlab 仿真分析 基本最小均方算法 如第二章所述，最陡下降算法不需要指導(dǎo)誤差特性曲面的先驗(yàn)知識(shí)，其算法就能收斂到最佳維納解，且與起始條件無關(guān)。但是最陡下降算法的主要限制是它需要準(zhǔn)確測得每次迭代的梯度矢量，這妨礙了它的應(yīng)用。為了減少計(jì)算復(fù)雜度和縮短自適應(yīng)收斂時(shí)間，許多學(xué)者對(duì)這方面的新算法進(jìn)行了研究。 1960 年，美國斯坦福大學(xué)的 Widrow 等提出了最小均方 (LMS)算法，這是一種用瞬時(shí)值估計(jì)梯度矢量的方法，即 )()(2)()]([)(? 2nnennenxw?????? () 可見，這種瞬時(shí)估計(jì)法是無偏的，因?yàn)樗钠谕?)](?[ nE? 確實(shí)等于式 ()的梯度矢量 )(n? 。所以，按照自適應(yīng)濾波器濾波系數(shù)矢量的變化與梯度矢量估計(jì)的方向之間的關(guān)系，可以寫出 LMS 算法的公式如下： )](?[21)(?)1(? nnn ????? ?ww () )()()(? nnen xw ??? () 如果式 ()與式 ()代入到上式中，則可得到 )()()(?)]()([ )()(?)()[()(?)1(? ndnnnn nnndnnn HHxwxxI xwxww ?? ? ??? ???? () 由上式可以得到自適應(yīng) LMS 算法的信號(hào)流圖，這是一個(gè)具有反饋形式的模型，如圖 所示。如同最陡下降算法，我們利用時(shí)間 0?n 的濾波系數(shù)矢量為任意的起始值 )0(w ，然后開始 LMS 算法的計(jì)算，其步驟如下。 )(nx ? )(ne )(nd??? )( nHx)1( ?nw )w n(I I1?z 圖 自適應(yīng) LMS算法信號(hào)流圖 中國礦業(yè)大學(xué) 2020 屆本科畢業(yè)設(shè)計(jì) 第 17 頁 (1) 由現(xiàn)在時(shí)刻 n 的濾波器濾波系數(shù)矢量估值 )(?nw ，輸入信號(hào)矢量 )(nx 以及期望信號(hào) )(nd ，計(jì)算誤差信號(hào)： )(?)()()( nnndne H wx?? () (2) 利用遞歸法計(jì)算濾波器系數(shù)矢量的更新估值： )()()(?)1(? nnenn xww ???? () (3) 將時(shí)間指數(shù) n 增加 1，回到步驟 (1)，重復(fù)上述計(jì)算步驟，一直到達(dá)穩(wěn)態(tài)為止。 由此可見 ， 自適應(yīng) LMS 算法簡單，它即不要計(jì)算輸入信號(hào)的相關(guān)函數(shù)，又不要求矩陣之逆，因而得到了廣泛的應(yīng)用。但是，由于 LMS 算法采用梯度矢量的瞬時(shí)估計(jì)，它有大的方差 ， 以至 不能獲得最優(yōu)濾波性能。下面我們來分析 LMS 算法的性能。 自適應(yīng)收斂性 自適應(yīng)濾波器系數(shù)矢量的起始值 )0(w 是任意的常數(shù)，應(yīng)用 LMS 算法調(diào)節(jié)濾波系數(shù)具有隨機(jī)性而 系數(shù)矢量 )(nw 帶來非平穩(wěn)過程，通常為了簡化 LMS 算法的統(tǒng)計(jì)分析，往往假設(shè)算法連續(xù)迭代之間存在以下的充分條件： (1) 每 個(gè) 輸 入 信 號(hào) 樣 本 矢 量 )(nx 與 過 去 全 部 樣 本 矢 量)(kx 1,1,0, ?? nk ? ， 是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。不相關(guān)的，既有 1,1,0。0)]()([ ??? nkknE H ?xx () (2) 每個(gè)輸入信號(hào)樣本矢量 )(nx 與 全部過去的期望信號(hào)1,1,0),( ?? nkkd ?也是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的，不相關(guān)的。既有 1,1,0。0)]()([ ??? nkkdnE ?x () (3)