【正文】 一階開始 ， 可以推出全部的預(yù)測系數(shù) ap,1,ap,2, …,ap,p和 σ 2p， 把得到的這些數(shù)據(jù)代入 Yulewalker方程 ， 可求得信號的自相關(guān)函數(shù)rxx(0), rxx(1), rxx(2),…,rxx(p)。 以上說明平穩(wěn)隨機(jī)序列可由自相關(guān)函數(shù)表征 ， 也可由 rxx(0),k1,k2,…,kp表征 。 (3) 前向預(yù)測誤差濾波器是最小相位濾波器，即它的全部零點(diǎn)在單位圓內(nèi)。 第三章 自適應(yīng)數(shù)字濾波器 3. 前向預(yù)測誤差濾波器的系統(tǒng)函數(shù) He(z)以及前向預(yù)測誤差公式 和實(shí)信號情況一樣 ， 仍是 ()式和 ()式 ， 但利用均方誤差最小原則求預(yù)測系數(shù)要用下式求解： )(ne fppkaneEkpfp ,3,2,10]|)([|,2?????() 對于前向預(yù)測誤差的正交原理，則用下式表示： pkknxneE fp ,3,2,10)]()([ * ????() YuleWalker方程仍和 ()式一樣 。 第三章 自適應(yīng)數(shù)字濾波器 后向預(yù)測誤差和后向預(yù)測誤差濾波器系統(tǒng)函數(shù)分別用下式表示： pkknxanepkkppfp ,3,2,1)()(1*, ???? ???() 1)( * 0,1*, ?????? pkpkkppb azazH() 對于后向預(yù)測誤差的正交原理為 0)]()([ * ??? kpnxneE bp() 對于復(fù)信號的 LevinsonDurbin遞推公式為 2111,1 )()(????? ????ppkxxkpxxpkpraprk?() 第三章 自適應(yīng)數(shù)字濾波器 * ,1,1, kpppkpkp akaa ??? ??k=1, 2, 3, … , p1 () ]|)([|)0()||1(222122,nxErkakxxppppppp?????????() () () 復(fù)信號的全零點(diǎn)格型濾波器預(yù)測誤差遞推公式為 )()1()()1()()(1*111nekneneneknenefppbpbpbppfpfp??????????() () 第三章 自適應(yīng)數(shù)字濾波器 圖 復(fù)信號預(yù)測誤差全零點(diǎn)格型濾波器 )( nefp)( nebp……z－ 1x ( n )z－ 1z－ 1e0( n)e1( n)b0( n)b1( n)k1k1k2k2kpkp* * *第三章 自適應(yīng)數(shù)字濾波器 最小均方誤差自適應(yīng)格型濾波器 P階格型濾波器由 p節(jié)組成 ， 如果前 m節(jié)的參數(shù) ki(i=1, 2, 3,…,m)為最佳 ， 相應(yīng)的預(yù)測誤差功率是最小 ， 而后面的節(jié)的參數(shù)對前面的最佳參數(shù)無影響 ， 因此在 m節(jié)的基礎(chǔ)上再加一節(jié) ， 則只需根據(jù)使第 m+1節(jié)的預(yù)測誤差功率最小的原則選擇 km+1即可 。 預(yù)測誤差功率有前向預(yù)測誤差功率和后向預(yù)測誤差功率 ， 這里采用使前 、 后向預(yù)測誤差功率的和為最小的原則求反射系數(shù) 。 公式為 0]))(())([( 22????pbpfpkneneE() 第三章 自適應(yīng)數(shù)字濾波器 將 ()、 ()代入上式， 可以得到 ]))1([]))([)]1()([2212111?????????neEneEneneEkbpfpbpfpp() 實(shí)際計(jì)算時，上式中的統(tǒng)計(jì)平均值用時間平均計(jì)算， 公式為 ]))1([(]))([()1()(2?212111???????????ieEieieiekbpifpbpifpp() 對于復(fù)信號情況，公式為 ]|)1(||)([|)1()(2?2121*11???????????ieieieiekbpifpbpifpp() 第三章 自適應(yīng)數(shù)字濾波器 上面兩式便是直接利用數(shù)據(jù)計(jì)算反射系數(shù)的遞推公式 。 下面討論公式中的求和限問題 ， 如果輸入數(shù)據(jù)為 x(i), i=0, 1, 2, … , n， 當(dāng) p=1時 ， ???????ibfibfieieieiek 2020001 ))1(())([()1()(2?這里 )()()( 00 ixieie bf ??因此 ???????iiixixixixk)]1()([()1()(2?221第三章 自適應(yīng)數(shù)字濾波器 上式中 ， 求和限必須限制在已知的輸入數(shù)據(jù)范圍內(nèi)計(jì)算 ， 這樣求和限應(yīng)為 i=1,2,3, …, n， 計(jì)算公式為 ?????????niniixixixixk12211)1()([)1()(2?當(dāng) p=2時， ???????ibfibfieieieiek]))1(())([()1()(2?2121112第三章 自適應(yīng)數(shù)字濾波器 按照 ()、 ()式，得到 )()2()()1()()2()()1()()(1010110101ixkixiekieieixkixiekieiefbbbff????????????將上面兩式帶入 公式中 ， 可以計(jì)算出 ， 考慮到輸入數(shù)據(jù)的范圍 ， 具體計(jì)算公式為 2?k 2?k?????????nibfnibfieieieiek121212112]))1(())([()1()(2?第三章 自適應(yīng)數(shù)字濾波器 再根據(jù) ,按照 ()、 ()式計(jì)算 e2(i)、 b2(i)， 按照 ()式計(jì)算 , 以此類推 。 這樣 ， 對于 具體計(jì)算公式為 2?k3?k pk??????????????npibpfpnpibpfppieieieiek]))1(())([()1()(2?212111() 以上便是直接采用信號數(shù)據(jù)計(jì)算格型濾波器的反射系數(shù)以及最小預(yù)測誤差的方法 。 但這種算法必須從低階推起 ， 要求較大的存儲時 ， 有較大的計(jì)算延遲 ， 使應(yīng)用受到限制 。 下面介紹梯度算法 ， 這種算法可以減少運(yùn)算量 ， 且適合非平穩(wěn)情況 。 第三章 自適應(yīng)數(shù)字濾波器 自適應(yīng)格型濾波器的梯度算法中反射系數(shù)的計(jì)算 ， 類似于自適應(yīng)橫向?yàn)V波器中系數(shù)的遞推算法 ， 公式為 ]))(())([()()1( 22 nenenknk bpfpkppp ????? ?() 式中 ， μ 仍然是控制收斂速度和收斂的參數(shù)； ▽ kp表示對方括弧中的部分求梯度 ， )]()()1()([(2]))(())([(]))(())([(112222neneneneneneknenefpbpbpfpbpfppbpfpkp?? ?????????第三章 自適應(yīng)數(shù)字濾波器 將上式代入 ()式中， 得到 )]()()1()([)()1( 11 nenenenenknk fpbpbpfppp ?? ????? ?式中， β =2μ ，為步長因子。這部分內(nèi)容可參考文獻(xiàn)［ 5］。 () 第三章 自適應(yīng)數(shù)字濾波器 最小二乘自適應(yīng)濾波 本節(jié)討論另外一種以誤差的平方和最小作為最佳準(zhǔn)則的誤差準(zhǔn)則 ——最小二乘 (Least Square)準(zhǔn)則 。 定義 ??jjen2)(?() 式中 , ξ (n)是誤差信號的平方和； ej是 j時刻的誤差信號， WXdyde Tjjjjj ????第三章 自適應(yīng)數(shù)字濾波器 dj是 j時刻的期望信號 ， Xj是 j時刻的輸入信號構(gòu)成的向量 ， W表示濾波器的權(quán)系數(shù)構(gòu)成的向量 。 通過選擇 W， 使 ξ (n)取得最小值的濾波稱為最小二乘 (Least Square,簡稱 LS)濾波 ， 而滿足 E［ e2j］ 取得最小值的濾波稱為最小均方誤差 (Least Mean Square, 簡稱 LMS )濾波 。 和 LMS濾波相比 ， LS濾波對非平穩(wěn)信號的適應(yīng)性要強(qiáng)許多 ， 這是由于 LS濾波總是采用新的準(zhǔn)則 ， 在每一個時刻對所有已輸入信號而言 ， 重新評估使其誤差的平方和最小 ， 因此具有更精確的含義 ， 屬于精確分析法 。 而 LMS濾波是以集合平均為基礎(chǔ)的 ， 屬于統(tǒng)計(jì)分析的方法 。 第三章 自適應(yīng)數(shù)字濾波器 最小二乘濾波 1. 最小二乘的基本問題 已知 n個數(shù)據(jù) ｛ x(1),x(2),…,x(n)｝ ， 采用 M個權(quán)的 FIR濾波器對數(shù)據(jù)進(jìn)行濾波 ， 假設(shè)期望信號為 d(i)， 如圖 。 濾波器的輸出 是對期望信號 d(i)的估計(jì) )(? idnikixiwidMkk ,1,0)1()()(?1????? ??其中 ， wk(i),k=1,2, …,M， 為 FIR濾波器在 i時刻的 M個系數(shù)值(說明濾波器的系數(shù)可以變化 )， 它是一個 M維的向量 ， 記為wM(i)=［ w1(i),w2(i),…,wM(i)］ T。 同理 ， 輸入信號也是一個 M維的向量 ， xM(i)=［ x1(i), x2(i), … , xM(i)］ T。 n時刻 ， 估計(jì)誤差為 第三章 自適應(yīng)數(shù)字濾波器 ????????Mkk knxnwndndndne1)1()()()(?)()( () 誤差信號的平方加權(quán)和為 ? ??iin ien )()( 2?? 上式中 ， 由于數(shù)據(jù)長度有限 ， 對觀測區(qū)間以外的數(shù)據(jù)所做的約定不同 ， 當(dāng) i的取值范圍不同時 ， 得到不同的 ξ (n)。 這里采用前加窗法 ， 約定： x(i)=0 i＜ 0 得到 )()( 211 iennin???? ??() 第三章 自適應(yīng)數(shù)字濾波器 圖 M個權(quán)的 FIR濾波器 z－ 1z－ 1x ( i － 1) x ( i － M ＋ 1 )z－ 1d ( i )…x ( i )－＋e ( i )d ( i )^w1( i ) w2( i ) wM( i )第三章 自適應(yīng)數(shù)字濾波器 為了后面敘述方面 ， 引入一些符號 。 令 M維向量 wM(n)和xM(n)分別表示 n時刻的濾波器的權(quán)向量和輸入信號向量 TT21)]1(,),1(),([)()](,),(),([)(?????MnxnxnxnxnwnwnwnwMMM?? 當(dāng) i=1,2, …,n時 ， 引入 n維誤差向量 e(n)和期望信號向量 d (n)， 以及輸入信號構(gòu)成的 M n維矩陣 XM(n) e(n)=［ e(1), e(2), … , e(n)］ T d(n)=［ d(1), d2), … , d(n)］ T XM(n)=［ xM(1),xM(2),…,xM(n)］ () () () 第三章 自適應(yīng)數(shù)字濾波器 為了后面推導(dǎo)方便，引入 n M維矩陣 C，定義 TT )](,),2(),1([)( nxxxnXC MMMM ??? () 應(yīng)用這些符號，期望信號的估計(jì)和估計(jì)誤差可以表示為 )()()()()()()()()()(?TTnCwndnwnXndnenCwnwnXndMMMMMM??????() () 將 ()式代入 ()式，得到誤差信號能量 )()()()()( T21nenΛneienniin ?? ?????第三章 自適應(yīng)數(shù)字濾波器 式中 ???????????????????100000021