【正文】 jjTNjjjjj XeEweweweeE ?????????????????????????? ?() 還可以用 ()式對 W求導得到 dxxxj WRWR ??? 2() 令上式等于 0, 得到最佳權矢量 W*的表達式： dxxx RRW 1* ??() 第三章 自適應數字濾波器 對比第二章維納濾波器的最佳解 ， 結果是一樣的 。 如果只有一個權系數 w1,則 E［ e2j］ 是 w1的口向上的拋物線；如果有兩個權系數 w1w2,則 E［ ej2］ 是它們的口向上的拋物面；對于兩個權系數以上的情況 ， 則屬于超拋物面性質 。 (2) 是正定或半正定的，因為對于任意矢量 V滿足下式： xxTxx RR ?0])[(][ 2TTT ??? VXEVXXVEVRV Txx自相關矩陣的主對角線是輸入信號的均方值， 交叉項是輸入信號的自相關值。 下面采用均方誤差最小的準則 ， 求最佳權系數 。 用上面公式表示其輸出 ， 適合于自適應線性組合器 ， 也適合于 FIR濾波器 。 因此它是一個單輸入系統(tǒng) ， 實際上這種單輸入系統(tǒng)就是一個 FIR網絡結構 ， 或者說是一個自適應橫向濾波器 。 對于固定的權系數 ， 輸出 yj是輸入信號 x1j,x2j,…,xNj的線性組合 ， 因此稱它為線性組合器 。 如果真正的 d(n)可以獲得 ， 我們將不需要做任何自適應濾波器 。 其中 e(n)=d(n)y(n) 自適應濾波器 H(z)的系數根據誤差信號 ， 通過一定的自適應算法 ， 不斷地進行改變 ， 使輸出 y(n)最接近期望信號 d(n)。 由于自適應濾波器有這些特點 ， 自 1967年威德諾 ()等人提出自適應濾波器以來 ， 在短短十幾年中 ， 自適應濾波器發(fā)展很快 ， 已廣泛地用于系統(tǒng)模型識別 ， 通信信道的自適應均衡 ， 雷達與聲納的波束形成 ， 減少或消除心電圖中的周期干擾 ， 噪聲中信號的檢測 、 跟蹤 、 增強和線性預測等 。 常常將這種輸入統(tǒng)計特性未知 ， 調整自身的參數到最佳的過程稱為 “ 學習過程 ” 。 在實際中 ， 常常無法知道這些先驗知識 ， 且統(tǒng)計特性還會變化 ， 因此實現最佳濾波是困難的 。第三章 自適應數字濾波器 第三章 自適應數字濾波器 引言 自適應橫向濾波器 自適應格型濾波器 最小二乘自適應濾波 自適應濾波的應用 第三章 自適應數字濾波器 引 言 自適應數字濾波器和維納濾波器一樣 ， 都是符合某種準則的最佳濾波器 。 維納濾波器的參數是固定的 ， 適用于平穩(wěn)隨機信號的最佳濾波 ， 但要設計這種濾波器 ， 必須要求輸入信號是平穩(wěn)的 ， 且具有信號和噪聲統(tǒng)計分布規(guī)律的先驗知識 。 第三章 自適應數字濾波器 自適應濾波器的特點是：濾波器的參數可以自動地按照某種準則調整到最佳濾波；實現時不需要任何關于信號和噪聲的先驗統(tǒng)計知識 ， 尤其當輸入統(tǒng)計特性變化時 ， 自適應濾波器都能調整自身的參數來滿足最佳濾波的需要 。 將輸入信號統(tǒng)計特性變化時 ， 調整自身的參數到最佳的過程稱為 “ 跟蹤過程 ” ， 因此自適應濾波器具有學習和跟蹤的性能 。 第三章 自適應數字濾波器 自適應橫向濾波器 自適應濾波器的原理框圖如圖 ， 圖中 x(n)稱為輸入信號 ， y(n)是輸出信號 ， d(n)稱為期望信號 ， 或者稱為參考信號 、 訓練信號 ， e(n)是誤差信號 。 這里暫時假定 d(n)是可以利用的 ， 實際中 ， d(n)要根據具體情況進行選取 ， 能夠選到一個合適的信號作為期望信號 ， 是設計自適應濾波器的一項有創(chuàng)意的工作 。 第三章 自適應數字濾波器 圖 自適應濾波器原理圖 H ( z )y ( n )x ( n )d ( n )e ( n )＋－第三章 自適應數字濾波器 自適應線性組合器和自適應 FIR 1. 自適應濾波器的矩陣表示式 圖 表示的是一個有 N個權系數的自適應線性組合器 ， 圖中 N個權系數 w1,w2,…,wN受誤差信號 ej的自適應控制 。 這里的 x1j,x2j,…,xNj可以理解為是從 N個不同的信號源到達的瞬時輸入 ， 是一個多輸入系統(tǒng) ， 也可以是同一個信號源的 N個序貫樣本 ， 如圖 所示 。 其輸出 y(n)用濾波器的單位脈沖相應表示成下式： ?????10)()()(Nmmnxmwny() 第三章 自適應數字濾波器 圖 自適應線性組合器 x1 jx2 jxNj…djejyjw1w2wN＋－第三章 自適應數字濾波器 圖 自適應 FIR濾波器 z－ 1z－ 1x ( n － 1) x ( n － 2) x ( n － N )z－ 1d ( n )e ( n )＋－y ( n )…x ( n )w2w3wN － 1wNw1第三章 自適應數字濾波器 這里 w(n)稱為濾波器單位脈沖響應 ， 令： i=m+1,wi=w(i1), xi=x(ni+1)， n用 j表示 ， 上式可以寫成 ???Niijij xwy1() 這里 wi也稱為濾波器加權系數 。 將上式表示成矩陣形式： jjj XWWXy TT ??() 式中 T21T21 ],[,],[ NjjjjN xxxXW ?? ??誤差信號表示為 jjjjjjj XWdWXdyde TT ??????() 第三章 自適應數字濾波器 2. 利用均方誤差最小準則求最佳權系數和最小均方誤差 誤差信號被用來作為權系數的控制信號 。 由 ()式 ， 均方誤差為 WXXEWWXdEdEydEeEjjjjjjjj][][(2][])[(][TTT222?????() 令 WXXEWWXdEXdER jjTjjjjdx ][][][ TT???() ??????????????????NjNjjNjjNjNjjjjjjNjjjjjjTjjxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxEXXER??????211211112111][() 第三章 自適應數字濾波器 將 ()、 ()式代入 ()式， 得到 WRWWRdEeE xxdxjj TT22 2][][ ???() Rdx稱為 dj與 Xj的互相關矩陣 ， 是一個 N維列矩陣； Rxx是輸入信號的自相關矩陣 ， (1)是對稱矩陣 ， 即 。 第三章 自適應數字濾波器 ()式表明 ， 當輸入信號和期望信號是平穩(wěn)隨機信號時 ， 均方誤差信號 E［ e2j］ 是權系數的二次函數 ， 即將 ()式展開時 ， 公式中的權系數均以它的一次冪或二次冪出現 。 E［ ej2］ 在自適應信號處理中是一個重要的函數 ， 經常稱它為性能函數 。 上式也稱為維納權矢量 。 將 ()式代入 ()式得到最小均方誤差： *2***2m i n22][2][][WRdEWRWWRdEeETdxjxxTTdxjj????? () 或者將上式取轉置，用下式表示： dxTjj RWdEeE *2m i n2 ][][ ??() 我們知道 ， 在維納濾波器中 ， 當濾波器的單位脈沖響應取最佳值時 ， 其誤差信號和輸入信號是正交的；這里也有相同的結果 ， 當權矢量取最佳值時 ， 梯度為 0， 按照 ()式： 0][2 ???? jjj XeE第三章 自適應數字濾波器 例 一個單輸入的二維權矢量自適應濾波器如圖 ， 圖中輸入信號與期望信號分別為 ?????????????? jNdjNx jj π2c os2,π2s i n這兩個信號都是周期性確定性信號 ， 因為任何正弦函數積的期望值 ， 都可由這個積在一個或多個周期上作時間平均來計算 ， 可以推導出下面公式 ［ 6］ : ??????????????????????????????????????????????2c o 2c o 1,0π2s i n)(π2s i nπ2c o s2][1,0π2c o )(π2s i nπ2s i n1][2111211NNxxxxxxERnnNnjNjNNxdEnnNnjNjNNxxEjjjjjjxxNjnjjNjnjj??第三章 自適應數字濾波器 TT12s i n,0],[?????? ???? NxdxdER jjjjdx?2π2s i n2π2c o s)(π2s i n021π2c o sπ2c o s1][2][][2212221212121TT22??????????????????????????????????????????NwNwwwNwwNNwwWRWWRdEeExxdxjj第三章 自適應數字濾波器 圖 兩個權的自適應濾波器 w1z－ 1xjw2djyj＋－ej第三章 自適應數字濾波器 上式表明性能函數 E［ ej2］ 對權函數是二次型的 ， 用 ()式求梯度向量 ， 得到 ??????????????????????????????????????????????????NwNwNwwNwwNNRWRdxxxjπ2s i n2π2c o sπ2c o sπ2s i n021π2c o sπ2c o s122212121求最佳權矢量可以用 ()式 ， 通過對 Rxx求逆得到 ， 也可以通過上式 ， 令 ， 而求出： 0?? jTT21* π2c s c2,π2c ot2][?????? ???NNwwW第三章 自適應數字濾波器 用 ()式求最小均方誤差： 0π2c s c2π2c o t2π2s i n02][min][ *T22 ?????????????????????????NNNWRdEeE dxjj上式說明只要 N＞ 2,不管 N取多少 ， 通過對權系數的調整可使均方誤差達到 0， 此時輸出信號 yj完全等于期望信號 dj, 例如 N=2， 按照上面公式 ， 可以求出輸入 、 輸出信號以及最佳權系數如下： 第三章 自適應數字濾波器 ???????????????????????????jdjxwxwyjxjjjjj2πc o s22πc o s22πs i n]20[][121T*2*1*第三章 自適應數字濾波器 在自適應濾波器的分析研究中 ， 性能函數是一個重要函數 ， 前面已推導出性能函數用 ()式表示 ， 重寫如下： WRWWRdEeE xxdxjj TT22 2][][ ??? 下面我們推導它的其它表示方法以及幾何意義 。 這樣性能函數可以表示得更簡單： VRV xxTm in ?? ??() 第三章 自適應數字濾波器 因為 Rxx是對稱的 ， 正定或半正定的 ， 利用它的特征值和特征向量再進一步簡化 ， 假設 Rxx是 N N維 ， 它的 N個特征值為： λ 1,λ 2,…,λ N， 將 Rxx進行分解