【正文】 0)]()([ ??? nkkdnE ?x () (3) 期。0)]()([ ??? nkknE H ?xx () (2) 每個(gè)輸入信號(hào)樣本矢量 )(nx 與 全部過去的期望信號(hào)1,1,0),( ?? nkkd ?也是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的，不相關(guān)的。 自適應(yīng)收斂性 自適應(yīng)濾波器系數(shù)矢量的起始值 )0(w 是任意的常數(shù)，應(yīng)用 LMS 算法調(diào)節(jié)濾波系數(shù)具有隨機(jī)性而 系數(shù)矢量 )(nw 帶來非平穩(wěn)過程，通常為了簡(jiǎn)化 LMS 算法的統(tǒng)計(jì)分析，往往假設(shè)算法連續(xù)迭代之間存在以下的充分條件： (1) 每 個(gè) 輸 入 信 號(hào) 樣 本 矢 量 )(nx 與 過 去 全 部 樣 本 矢 量)(kx 1,1,0, ?? nk ? ， 是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。但是，由于 LMS 算法采用梯度矢量的瞬時(shí)估計(jì)，它有大的方差 ， 以至 不能獲得最優(yōu)濾波性能。 )(nx ? )(ne )(nd??? )( nHx)1( ?nw )w n(I I1?z 圖 自適應(yīng) LMS算法信號(hào)流圖 中國礦業(yè)大學(xué) 2020 屆本科畢業(yè)設(shè)計(jì) 第 17 頁 (1) 由現(xiàn)在時(shí)刻 n 的濾波器濾波系數(shù)矢量估值 )(?nw ，輸入信號(hào)矢量 )(nx 以及期望信號(hào) )(nd ，計(jì)算誤差信號(hào)： )(?)()()( nnndne H wx?? () (2) 利用遞歸法計(jì)算濾波器系數(shù)矢量的更新估值： )()()(?)1(? nnenn xww ???? () (3) 將時(shí)間指數(shù) n 增加 1，回到步驟 (1)，重復(fù)上述計(jì)算步驟，一直到達(dá)穩(wěn)態(tài)為止。所以，按照自適應(yīng)濾波器濾波系數(shù)矢量的變化與梯度矢量估計(jì)的方向之間的關(guān)系，可以寫出 LMS 算法的公式如下： )](?[21)(?)1(? nnn ????? ?ww () )()()(? nnen xw ??? () 如果式 ()與式 ()代入到上式中，則可得到 )()()(?)]()([ )()(?)()[()(?)1(? ndnnnn nnndnnn HHxwxxI xwxww ?? ? ??? ???? () 由上式可以得到自適應(yīng) LMS 算法的信號(hào)流圖，這是一個(gè)具有反饋形式的模型，如圖 所示。為了減少計(jì)算復(fù)雜度和縮短自適應(yīng)收斂時(shí)間，許多學(xué)者對(duì)這方面的新算法進(jìn)行了研究。 中國礦業(yè)大學(xué) 2020 屆本科畢業(yè)設(shè)計(jì) 第 16 頁 3 最小均方算法及 Matlab 仿真分析 基本最小均方算法 如第二章所述，最陡下降算法不需要指導(dǎo)誤差特性曲面的先驗(yàn)知識(shí)，其算法就能收斂到最佳維納解，且與起始條件無關(guān)。第二部分介紹了最速下降算法，并對(duì)它的穩(wěn)定性分析進(jìn)行了歸納概括。 本章小結(jié) 維納濾波器是隨機(jī)信號(hào)處理過程中經(jīng)常用到的線性最優(yōu)濾波器，它是自適應(yīng)濾波器的基礎(chǔ)。格型濾波器的參數(shù)與系統(tǒng)函數(shù)沒有簡(jiǎn)單的對(duì)應(yīng)關(guān)系，但利用 LevisionDurbin 算法仍然可以用信號(hào)的統(tǒng)計(jì)特性簡(jiǎn)單的表示。 FIR 的格型結(jié)構(gòu)也是一種常用的結(jié)構(gòu)。簡(jiǎn)單的函數(shù)使得濾波器能快速的更新滋參數(shù)。自適應(yīng)濾波器是通過控制參數(shù)來使濾波器保持最佳濾波狀態(tài)的，而最佳濾波參數(shù)和信號(hào)的統(tǒng)計(jì)特性有關(guān)，所以最佳參數(shù)應(yīng)表示為信號(hào)統(tǒng)計(jì)特性的函數(shù)。同時(shí)， FIR 和 IIR 又有多種實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)，如橫向結(jié)構(gòu)濾波器、格式結(jié)構(gòu)濾波器、級(jí)聯(lián)結(jié)構(gòu)濾波器、 并聯(lián)結(jié)構(gòu)濾波器等。 自適應(yīng)濾波器結(jié)構(gòu) 數(shù)字濾波器按照單位采樣響應(yīng)時(shí)間可以分為 FIR(Finite duration Impulse Response)和 IIR(Infinite duration Impulse Response)。 時(shí)間常數(shù) i? 正如電路理論所表征的特性，它可以描述自適應(yīng)濾波器濾波系數(shù)自調(diào)整過程的瞬態(tài)性質(zhì)。然后，令式 ()表征旋轉(zhuǎn)濾波系數(shù)相鄰時(shí)間的瞬時(shí)值的比值，等于 )1( i??? ，則由圖 的指數(shù)包絡(luò)可以選擇時(shí)間常數(shù) i? ，如下式所示： )1exp(1 ii ??? ??? () ????? 2!2 111 ii ?? () 24 6 8 1 0 1 20)( nv i )0(iv n 圖 最陡下降算法第 i個(gè)旋轉(zhuǎn)系數(shù)隨時(shí)間 的變化值 （ 11 ?? i?? ） 因此，時(shí)間常數(shù) i? 等于 )1ln( 1 ii ??? ??? () 1,1 ??? ??? i () 顯然，式 ()是由式 ()右邊略去高次項(xiàng)所得的近似結(jié) 果。()1()1( ???? ?? () 和 )0()1()( inii vnv ???? () 對(duì)比式 ()與式 ()可以看出，濾波器系數(shù)對(duì)最佳濾波值 0w 的偏差值也是瞬變的和接近指數(shù)律衰減的，但衰減速率沒有均方誤差值衰減速率快。因此，最陡下降法使自適應(yīng)濾波器中均方誤差 )(n? 的差值 min)( ?? ?n 隨著時(shí)間迅速下降(衰減 )。 如果將上式右邊第二項(xiàng)展開成元素乘積和，并以公式 ()的關(guān)系代入，便得到 )()( 21m in nvn iMi i???? ??? () 中國礦業(yè)大學(xué) 2020 屆本科畢業(yè)設(shè)計(jì) 第 14 頁 )0()1( 21m in iiMi i v???? ?? ??? () 式中， )0(。 自適應(yīng)濾波器目標(biāo)函數(shù)是以均方誤差定義的，它是濾波系數(shù)矢量 w 的二次方程，由式 ()可寫成 wwPw TT Rn d ??? 2)( 2?? () wwPw ????? RTTm i n? () 式中， 2d? 是期望信號(hào) )(nd 的方差，假定它的均值為零； min? 為由維納解 0w 提供的最小均值誤差值，即 Pw Td 02m in ???? 。這是一個(gè)自適應(yīng)或自調(diào)節(jié)過程，在這個(gè)過程中，均方誤差 (MSE)或旋轉(zhuǎn)系數(shù)誤差將由它們的起始值 逐步衰減而趨近零或某個(gè)最小值，這是自適應(yīng)回路內(nèi)所存在的瞬態(tài)性質(zhì)。 自調(diào)整過程 自適應(yīng)濾波器的濾波系數(shù)矢量通過算法控制加以更新，實(shí)質(zhì)上是一種自學(xué)習(xí)和自訓(xùn)練的過程。在此 條件下，對(duì)角線矩陣中全部元素當(dāng) ??n 而趨于零，結(jié)果使 0)1( ??nv 。 用 Q 乘以 ()兩邊，得到 )()()1( nn HHH wQIwQ ?????? ? () 或 )()()1( nn vIv ???? ? () 其中 )()( nn H wQv ?? ，為旋轉(zhuǎn)參數(shù)矢量或旋轉(zhuǎn)濾波系數(shù)誤差，上 角符號(hào) “H ”表示復(fù)數(shù)共軛轉(zhuǎn)置。 矩陣 Q 的列矢量是相關(guān)矩陣 R 特征值所表示的特征矢量的正交集。上述兩個(gè)參數(shù)完全控制著反饋回路的轉(zhuǎn)移函數(shù)。 R??IΣP? )1( ?nw I1?z )( nw 圖 最陡下降算法的信號(hào)流圖 (SFG) 算法穩(wěn)定性 由圖 可見，最陡下降算法含有反饋的模型，存在穩(wěn)定性問題。 然后把式 ()代入 式 ()中，可以計(jì)算出濾波系數(shù)的更新值： ?,2,1,0)]。在此情況下，誤差或輸入信號(hào)都具有零均值，它們的正交性質(zhì)內(nèi)涵著互不相關(guān)的意思。有式 ()得到 0)]()([ ?nneE x () 或 1,1,0。按照最陡下降法調(diào)節(jié)濾波系數(shù)，則 在 1?n 時(shí)刻的濾波系數(shù)或權(quán)矢量 )1( ?nw 可以用下列簡(jiǎn)單遞歸關(guān)系來計(jì)算； )]([21)()1( nnn ????? ?ww () 式中， ? 是一個(gè)正實(shí)常數(shù)，通常稱它為自適應(yīng)收斂系數(shù)或步長(zhǎng)。換句話說，自適應(yīng)過程是在梯度矢量的負(fù)方向接連地矯正濾波系數(shù)的，即在誤差 性能曲面的最陡下降方向移動(dòng)和逐步校正濾波系數(shù)，最終到達(dá)均方誤差為最小的碗底最小點(diǎn)，獲得最佳濾波或準(zhǔn)優(yōu)工作狀態(tài)。自適應(yīng)濾波系數(shù)的起始值 Miw i ,2,1)} ,0({ ?? 是任意值，位于誤差性能曲面上的某一點(diǎn)，經(jīng)過自適應(yīng)調(diào)節(jié)過程，使對(duì)應(yīng)于濾波系數(shù)變化的點(diǎn)移動(dòng)，朝碗底最小點(diǎn)方向移動(dòng)，最終到達(dá) 碗底最小點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)了最佳維納濾波。因?yàn)榫秸`差 (MSE)函數(shù)是濾波系數(shù) w的二次方程，由此形成一個(gè)多維的超拋物曲面。當(dāng)矩陣 R 和矢量 P 已知時(shí)，可以由權(quán)系數(shù)矢量 w 直接求其解。 按照均方誤差 (MSE)準(zhǔn)則所定義的目標(biāo)函數(shù)是： )]()()(2)([ )]([)())(( 222nynyndndE neEnneF ??? ?? ? () 將式 ()代入 ()，目標(biāo)函數(shù)可以重寫成 )]()()()([ )]()()([2)]([)(2nnnnE nnndEndEn TTTTwxxw xw? ??? () 當(dāng)濾波系數(shù)固定時(shí)，目標(biāo)函數(shù)有可寫成 wwPw Rndn TT ???? 2)]([)( 2?? () 其中， )]()([ nnER T xx? 是輸入信號(hào)的自相關(guān)矩陣； )]()([ nxndE?P 是期望期望與輸入信號(hào)的互相關(guān)矢量。 1?z 1?z 1?z 1?z自 適 應(yīng) 控 制 算 法Σ)(nx )1( ?nx )2( ?nx )1( ?? Mnx )( Mnx ?)(ny)(ne )(nd )(1 nw M ?)(3 nw )(2 nw )(1 nw )( nw M 圖 自適應(yīng)橫向?yàn)V波器結(jié)構(gòu)框圖 中國礦業(yè)大學(xué) 2020 屆本科畢業(yè)設(shè)計(jì) 第 10 頁 令 )(nw 表示圖 中濾波器系數(shù)矢量， TM nwnwnwn ])()()([)( 21 ??w ，濾波器抽頭輸入信號(hào)矢量 TM mnxnxnxn ])()()([)( 21 ?? ?x ，顯然，輸出信號(hào))(ny 是 ?? ???? Mi i nninxnwny 1 )()()1()()( xw T () 式中上角 “ T” 表 示轉(zhuǎn)置。 (2) 在自適應(yīng)狀態(tài)能調(diào)節(jié)這些權(quán)系數(shù)的機(jī)理過程。kv 是向量 ‘v 的第k 個(gè)元素。 ，它構(gòu)成了性能曲面的主軸。 39。即滿足： HR ?? ，且： I H ???1 。即： },{ 110 ?? Mdiag ??? ?＝ 。39。利用式（ ）和（ ）可以將上式寫為矩陣形式 RppwndEwJ HHH ???? ]|)([|)( 2 （ ） 又因相關(guān)矩陣 R 是非奇異的，是（ ）又可進(jìn)一步寫為 中國礦業(yè)大學(xué) 2020 屆本科畢業(yè)設(shè)計(jì) 第 9 頁 239。 當(dāng)濾波器為線性橫向?yàn)V波器或 FIR 濾波器時(shí)（如圖 ），橫向?yàn)V波器的權(quán)系數(shù)為 0, 1, 1,... Mw w w ? ， 維納－霍夫方程變?yōu)?M 個(gè)線性方程組 1,...,1,0),()(10 0 ???????? MkkpkirwMi i （ ） ΣΣ? ? ? .)(u )1( ?nu )2( ?nu )1( ?? Mnu ()yn ()en)(nd0w 1w 2w 1?Mw?z 1?z 1?z 圖 橫向?yàn)V波器 中國礦業(yè)大學(xué) 2020 屆本科畢業(yè)設(shè)計(jì) 第 8 頁 令輸入向量為 TMnunununu )]1() , .. .,1(),([)( ???? （ ） 則濾波器輸入 )1() ,...,1(),( ??? Mnununu 組成的 M?M 自相關(guān)矩陣表示為 ??????????????????)0()2()1()2()0()1()1()1()0()]()([***rMrMrMrrrMrrrnunuER H??????? （ ） 相應(yīng)的，令 P 為濾波器抽頭輸入與期望響應(yīng)的 IM? 的互相關(guān)向量 TMIpppndnuEP )](,),1(),0([ )]()([ * ??? ? （ ） 因此，維納－霍夫方程的矩陣形式為 pRw?0 （ ） 如果自相關(guān)矩陣是非奇異的，則最優(yōu) 抽頭權(quán)向量表示為 pRw 10 ?? （ ） 誤差性能表面 圖 中，估計(jì)誤差 )(ne 可寫為 )()()( 10 * knuwndne Mk k ??? ??? () 橫向?yàn)V波器的代價(jià)函數(shù)為： )()()(]|)([|)]()([)]()([)]()([]|)([|)]()([1010