【正文】 plot(ab。y(k)39。e(k)39。)。 xlabel(39。幅值 39。) 。 title(39。)。hold on plot(0:Nn,y(1,n:N),39。)。 title(39。頻率 39。)。 ylabel(39。 plot(abs(fft(x)))。)。 xlabel(39。幅值 39。濾波器輸入信號(hào) x時(shí)域圖 39。 figure(2) subplot(2,1,1)。原始輸入信號(hào) xr 頻域圖 39。)。 xlabel(39。幅值 39。grid。) grid on subplot(2,1,2)。 title(39。時(shí)間 39。)。) ylabel(39。 plot(0:Nn,xr(1,n:N),39。 y(1,i)=w(i,:)*x(in+1:i)39。 p=pK(i,:)39。 e(1,i)=xr(i)w(i1,:)*x(in+1:i)39。./(1+x(in+1:i)*p*x(in+1:i)39。 y=zeros(1,N)。 w=zeros(N,n)。 p=(1/Delta)*eye(n)。 for j=1:N x(1,j)=xr(1,j)+b(j)。 xr=10*sawtooth(2*pi*5*t,)。 x(1,i)=xr(1,i)+b(i)。 b=2*randn(1,N)。 n=200。, 0) 。 rand(39。seed39。 clc。 輸入信號(hào)不同對(duì)濾波效果的影響 輸入信號(hào)為周期信號(hào) 原始信號(hào)輸入為周期三角波，噪聲方差為 2。 自適應(yīng)濾波器的設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn) 結(jié)論 綜合上述兩組對(duì)比實(shí)驗(yàn)，當(dāng)抽頭輸入噪聲電平低（即輸入信噪比較高）時(shí)， RLS 算法的正則 化系數(shù)取較小的正常數(shù)收斂速度更快，濾波效果也較好。綜合考慮。 運(yùn)行得到圖 ，圖 自適應(yīng)濾波器的設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn) 圖 誤差信號(hào)輸出信號(hào)和抽頭權(quán)值 w變化圖 圖 誤差信號(hào)輸出信號(hào)和抽頭權(quán)值 w變化圖 當(dāng)信噪比較低時(shí)，實(shí)驗(yàn)組 1 抽頭系數(shù)在 1800 開始收斂，誤差信號(hào)較小。 實(shí)驗(yàn)組 1： ?? 實(shí)驗(yàn)組 2： ?? 實(shí)驗(yàn)程序與高信噪比時(shí)大部分一樣，變動(dòng)的語句： b=*randn(1,N)。不難看出，實(shí)驗(yàn)組 2 收斂速度更快。 圖 誤差信號(hào)輸出信號(hào)和抽頭權(quán)值 w變化圖 當(dāng)信噪比較高時(shí)，實(shí)驗(yàn)組 1 抽頭系數(shù)在 4000 開始收斂，實(shí)驗(yàn)組 2 抽頭系數(shù)在 500 開始收斂。 運(yùn)行以上程序，得到圖 。時(shí)間 39。)。 ylabel(39。抽頭權(quán)值 w的變化 39。r39。 subplot(2,1,2)。時(shí)間 39。)。 ylabel(39。誤差信號(hào) e(t)和輸出信號(hào) y(t)39。hold on grid on。r39。 end figure(1) subplot(2,1,1) plot(0:Nn,e(1,n:N))。*x(in+1:i)*p。 w(i,:)=w(i1,:)+e(1,i)*K(i,:)。))39。 for i=n+1:N K(i,:)=(p*x(in+1:i)39。 y=zeros(1,N)。 w=zeros(N,n)。 p=(1/Delta)*eye(n)。 x(1,i)=xr(1,i)+b(i)。 x=(zeros(1,N))。 k=12。 N=5000。seed39。, 0) 。 實(shí)驗(yàn)組 1： ?? 實(shí)驗(yàn)組 2： ?? 自適應(yīng)濾波器的設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn) 程序如下： 實(shí)驗(yàn)組 1 randn(39。來實(shí)現(xiàn)不同信噪比，分析正則化參數(shù)的在最佳選擇。 濾波器正則化參數(shù)的確定 RLS 算法有兩個(gè)特殊的可變參數(shù)：抽頭輸入數(shù)據(jù)的信噪比，這個(gè)量由運(yùn)行的條件決定；正則化參數(shù) ? 。圖 ，可以看出輸出信號(hào)頻率較集中。圖 )(ty 為經(jīng)過 RLS 濾波器后的輸出信號(hào)，藍(lán)色部分 )(te 為誤差信號(hào)。 運(yùn)行以上程序，得到圖 。濾波器輸出信號(hào) y頻域圖 39。)。xlabel(39。幅值 39。grid。 subplot(2,1,2)。誤差信號(hào) e頻域圖 39。)。xlabel(39。幅值 39。 grid。時(shí)間 39。)。 ylabel(39。) figure(4) subplot(2,1,1)。),gtext(39。 gtext(39。誤差信號(hào) e(t)和輸出信號(hào) y(t)39。hold on grid on。r39。 figure(3) plot(0:Nn,e(1,n:N))。濾波器輸入信號(hào) x頻域圖 39。)。xlabel(39。幅值 39。grid。 grid subplot(2,1,2)。時(shí)間 39。)。) ylabel(39。 plot(0:Nn,x(1,n:N)) title(39。)。 title(39。時(shí)間 39。)。 ylabel(39。 plot(abs(fft(xr)))。原始輸入信號(hào) xr時(shí)域圖 39。)。xlabel(39。幅值 39。r39。 end figure(1) subplot(2,1,1)。*x(in+1:i)*p。 w(i,:)=w(i1,:)+e(1,i)*K(i,:)。))39。 for i=n+1:N K(i,:)=(p*x(in+1:i)39。 e=zeros(1,N)。 K=zeros(N,n)。 end Delta=。 for i=1:N xr(1,i)=sin(k*2*pi*i/N)。 b=*randn(1,N)。 n=200。, 0) 。 rand(39。seed39。 clc。 _+)(0 nw )(1 nw )(2 nw )(1 nw N ?… …… …… .)(nx )1( ?nx )2( ?nx )1( ?? Nnx)( ny)( ne )( nd 圖 仿真框圖 正弦波去噪實(shí)驗(yàn) 原始信號(hào)為單一正弦波 )(xrt ，加入方差為 )(tb ，濾波器輸入信號(hào)為自適應(yīng)濾波器的設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn) )(tx ，輸出信號(hào)為 )(ty 。 MATLAB 可以進(jìn)行 矩陣 運(yùn)算、繪制 函數(shù) 和數(shù)據(jù)、實(shí)現(xiàn) 算法 、創(chuàng)建用戶界面、連 接其他 編程語言 的 程序等，主要應(yīng)用于工程計(jì)算、控制設(shè)計(jì)、 信號(hào)處理 與通訊、 圖像處理 、信號(hào)檢測(cè) 、 金融建模 設(shè)計(jì) 與分析等 領(lǐng)域 。 MATLAB 和 Mathematica、 Maple、 MathCAD 并稱為四大 數(shù)學(xué) 軟件。 自適應(yīng)濾波器的設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn) 第四章 基于 MATLAB 自適應(yīng)濾波器仿真 MATLAB 是由美國(guó) mathworks 公司發(fā)布的主要面對(duì)科學(xué)計(jì)算、可視化以及交互式 程序設(shè)計(jì) 的高科技計(jì)算環(huán)境。本文后續(xù)實(shí)驗(yàn)部分默認(rèn) 1?? 。該遺忘因子的引入，使 RLS 算法能夠?qū)Ψ瞧椒€(wěn)信號(hào)進(jìn)行跟蹤。它使誤差的總能量最小。 RLS算法小結(jié) 算法初始化 自適應(yīng)濾波器的設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn) IPW 1)0( 0)0( ???? (352) 對(duì)每一時(shí)刻， ,...2,1?n 計(jì)算 )()1()( )()1()( nUnPnU nUnPnK H ?? ?? ? (353) )()1(?)()( nUnWndn H ???? (354) )()()1(?)(? nnKnWnW ???? ? (355) )1()()()1()( 11 ???? ?? nPnUnKnPnP H?? (356) 遞歸最小二乘 (RLS)算法的性能分析 RLS(遞推最小二乘法 )算法的關(guān)鍵是用二乘方的時(shí)間平均的最小化鋸帶最小均方準(zhǔn)則，并按時(shí)間進(jìn)行迭代計(jì)算。為此，用式（ 331）、式（ 336）和式（ 341）來表示抽頭權(quán)向量 n次迭代的最小二乘估計(jì) )()()()1()()()()()()(? *1 ndnUnPnZnPnZnPnZnnW ?????? ? ? (348) 將式（ 348）右邊第一項(xiàng) )(nP 中用式（ 343）代替，可得 )()()()1(?)()()1(?)()()()1()1()()()1()1()()()()1()1()()()1()1()(?11ndnUnPnWnUnKnWndnUnPnZnnUnKnZnndnUnPnZnPnUnKnZnPnWHHH?????????????????????????? (349) 最后，應(yīng)用 )()( nUnP 等于增益向量 )(nK ，可使得更新抽頭權(quán)向量的遞歸方程為 ? ? )()()1(?)1(?)()()()1(?)(? nnKnWnWnUndnKnWnW H ?? ???????? ? (350) 其中 )()1(?)()1(?)()()( nUnWndnWnUndn HT ?????? ?? (351) 是一個(gè)先驗(yàn)誤差。因此，我們可將式（ 345）簡(jiǎn)化為 )()()( nUnPnK ? (346) 這一結(jié)論，連同 )()( 1 nnP ??? ，可以用來定義增益向量 自適應(yīng)濾波器的設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn) )()()( 1 nUnnK ??? (347) 換句話說，增益向量 )(nK 可定義為經(jīng)相關(guān)矩陣 )(n? 逆矩陣變換的抽頭輸入向量 )(nU 。式（ 343）是 RLS算法的 Riccati方程。根據(jù)矩陣求逆引理，可將 A 的矩陣表示為 BC)BCCD(BCBA H1H1 ?? (338) 假定相關(guān)矩陣是非奇異的，因而它可逆。為此，我們先引入一個(gè)著名的結(jié)果 —— 矩陣求逆引理。類似的，可用式（ 332）導(dǎo)出抽頭輸入與期望響應(yīng)之自適應(yīng)濾波器的設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn) 間互相關(guān)向量的更新公式 )()()1()( * ndnUnZnZ ??? ? (336) 為了按式（ 331）計(jì)算抽頭權(quán)向量的最小二乘估計(jì)，必須確定相關(guān)矩陣 )(n? 的逆。于是，可使得用于更新抽頭輸入相關(guān)矩陣的遞歸公式 )()()1()( nUnUnn H????? ? (335) 其中 )1( ??n 是相關(guān)矩陣的過去值，矩陣乘積 )()( nUnU H 在更新過程中起著修正的作用。 橫向?yàn)V波器抽頭輸入與期望響應(yīng)之間的 1?M 時(shí)間平均互相關(guān)向量 )(nZ 為 )()()( *1 idiUnZ ni in?? ?? ? (332) 它將不受正則化的影響，依然假定使用預(yù)加窗法。容易發(fā)現(xiàn)，增加正則化項(xiàng)還有這樣的作用：它使得相關(guān)矩陣 )(n? 在從 0?n 開始的整個(gè)計(jì)算過程中非奇異。將這一項(xiàng)包含在代價(jià)函數(shù)中，一遍通過平滑作用來穩(wěn)定遞歸最小二乘問題的解。）代價(jià)函數(shù)的兩個(gè)分量如下： 1) 誤差加權(quán)平方和 2121 )()()()(),( iUnWidieinHniinni ?? ?? ??? ?? (328) 它與輸入數(shù)據(jù)有關(guān)。這意味著必須擴(kuò)展代價(jià)函數(shù)公式，使其能考慮先驗(yàn)信息。 2． 在輸入數(shù)據(jù)中不可避免地存在著噪聲或不 確定的精確性，這為構(gòu)建輸入輸出映射關(guān)系增加了不確定性。在該問題中，給定構(gòu)成抽頭輸入向量的輸入數(shù)據(jù) )(nU 和相應(yīng)的期望響應(yīng) )(nd ，要求出估計(jì)出多重回歸模型的位置參數(shù)向量，該向量與 )(nd 和 )(nU 有關(guān)。一般來說，加權(quán)因子 其目的在于確保濾波器能夠忘記“過去的”數(shù)據(jù)以確保算法適用于非平穩(wěn)的環(huán)境，能跟蹤觀測(cè)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)變化。 加權(quán)因子和正則化 另外，習(xí)慣上還在 )(n? 的定義中引入加權(quán)因子。假定是非奇異矩陣，因此逆矩陣存在，可由式（ 321）解得線性最小二乘濾波器的抽頭權(quán)向量為 ZW1? ??? (322) 自適應(yīng)濾波器的設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn) 式（ 322）是一個(gè)很重要的結(jié)論：它是矩陣的維納 霍夫方程在線性最小二乘條件下的解。將式（ 317）表示的方程組改寫為矩陣形式。令式（ 33）中的抽頭權(quán)值為最小二乘意義下的最優(yōu)權(quán)值，可得 )(?)()( 10 *tm i n tiuwidie Mt ??? ??? (313) 將式（ 313）代入式（ 312），整理后得到 M 個(gè)聯(lián)立方程組 ?? ? ? ??? ? ? ???? NMiMt NMit idkiutiutiuw )()()()(?10 1,...,0 ?? Mk