【正文】 2) 抽頭輸入 )1(),.. .,1(),( ??? Miuiuiu 與期望 )(id 之間的 1?M 時(shí)間平均互相關(guān)向量為 ? ?TMzzzZ )1() ,.. .,1(),0( ??? (319) 3) 最小二乘濾波器的 1?M 抽頭向量為 ? ?TMW 110 ?,...,?,?? ?? (320) 按照這些矩陣定義，將 M 個(gè)聯(lián)立方程組（ 314）簡(jiǎn)單地改寫(xiě)為 ZW??? (321) 式（ 321）是線性最小二乘濾波器的正則方程的矩陣形式。式（ 322）表明線性最小二乘濾波器的抽頭權(quán)向量 W? 由濾波器抽頭輸入的時(shí)間平均相關(guān)矩陣 ?的逆矩陣與抽頭輸入和期望 響應(yīng)之間時(shí)間平均互相關(guān)向量 Z 的乘積唯一確定。于是可以寫(xiě)出 21 )(),()( ???ni ieinn ?? (323) 即 )()()()()()( iUnWidiyidie H???? (324) 其中 )(iU 是 i 時(shí)刻的抽頭輸入向量，定義為 ? ?TMiuiuiuiU )1() ,.. .,1(),()( ???? (325) 式中 )(nW 是時(shí)刻 n 的抽頭權(quán)值響應(yīng)，定義為 ? ?TM nwnwnwnW )() ,...(),()( 110 ?? (326) 式（ 323）的加權(quán)因子 inin ???? ）（ , 滿足關(guān)系 0≤λ≤ 1。 最小二乘法是一個(gè)病態(tài)求逆過(guò)程。 自適應(yīng)濾波器的設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn) 最小二乘的病態(tài)特性源于一下原因： 1． 輸入數(shù)據(jù)中的信息不足以唯一地構(gòu)建輸入輸出之間的映射關(guān)系。 為使估計(jì)問(wèn)題變?yōu)榉遣B(tài)，需要某種與輸入輸出有關(guān)的先驗(yàn)信息。為了滿足這一要求，我們代價(jià)函數(shù)擴(kuò)展為兩部分之和 )()(),()( 21 nWieinn nni ???? ?? ?? (327) （假設(shè)使用了預(yù)加窗。這個(gè)分量反映出期望響應(yīng)與濾波器實(shí)際響應(yīng)之間的指數(shù)加權(quán)誤差，且)(iy 與抽頭輸入向量 )(iU 之間的關(guān)系可用公式表示為 )()()( iUnWiy H? (329) 2) 正則化項(xiàng) )()()( 2 nWnWnW Hnn ???? ? (330) 式中 ? 是一個(gè)正實(shí)數(shù)，稱為正則化參數(shù)。 將式（ 327）展開(kāi)并進(jìn)行整理，我們發(fā)現(xiàn)，在代價(jià)函數(shù)中增加正則化項(xiàng) 2)(nWn?? ，相當(dāng)于將抽頭輸入向量 )(iU 的 MM? 時(shí)間平均相關(guān)矩陣表示為 自適應(yīng)濾波器的設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn) IiUiUn nHni in ??? ??? ?? ? )()()( 1 (331) 式中 I 是 MM? 單位矩。將式（ 331）修正為相關(guān)矩陣的過(guò)程叫對(duì)角加載。遞歸最小二乘問(wèn)題的正則方程可用矩陣形式寫(xiě)為 )()(?)( nZnWn ?? (333) 遞歸計(jì)算 將對(duì)應(yīng)于 ni? 的項(xiàng)與式（ 331）右邊的求和項(xiàng)分開(kāi)，可寫(xiě)出 )()()()()( 11 1 nUnUIiUiUn HnHni in ??????? ??? ?? ??? ???? (334) 根據(jù)定義，式（ 334）右括號(hào)內(nèi)的表達(dá)式等于相關(guān)矩陣 )1( ??n 。式（ 335）的遞歸過(guò)程與初始條件無(wú)關(guān)。然而在實(shí)際中，我們通常盡量避免這樣做，因?yàn)檫@種運(yùn)算非常耗時(shí)，特別是當(dāng)抽頭數(shù) M 很大時(shí)。 設(shè) A 和 B 是兩個(gè) MM? 正定矩，他們之間的關(guān)系為 H11 CCDBA ?? (337) 其中， D 是 MN? 正定矩， C 是 NM? 矩陣。我們對(duì)式（ 335）所表示的遞歸方程應(yīng)用矩陣求逆引理，首先做如下設(shè)定 1D(n)C)1(B)(A1???????Unn? (339) 然后將這些定義代入求逆引理，可得計(jì)算相關(guān)矩陣的遞歸方程如下 )()1()(1 )1()()()1()1()( 11 112111 nUnnU nnUnUnnn H H ??? ????????? ?? ?????? ??? (340) 為了方便計(jì)算，令 自適應(yīng)濾波器的設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn) )()( 1 nnP ??? (341) 和 )()1(1 )()1()( 11 nUnPU nUnPnK H ?? ?? ???? (342) 用上面的定義，可將式（ 340）改寫(xiě)為 )1()()()1()(11 ???? ?? nPnUnKnPnP H?? (343) MM? 矩陣 )(nP 叫做逆相關(guān)矩陣， 1?M 向量 )(nK 叫做增益向量。整理式（ 342），可得 )()1()()()()1()( 11 nUnPnUnKnUnPn H ???? ?? ?? （ 344） 即 ? ? )()1()()()1()( 11 nUnPnUnKnPnK H ???? ?? ?? (345) 從式（ 343）可以看出，式（ 345）右邊最后一行括號(hào)里的表達(dá)式等于 )(nP 。 抽頭向量的時(shí)間更新 下面導(dǎo)出更新抽頭權(quán)向量最小二乘估計(jì) )(?nW 的遞歸公式。內(nèi)積 )()1(? nUnW H ? 表示基于 1?n 時(shí)刻抽頭權(quán)向量最小二乘估計(jì)舊值得期望響應(yīng) )(nd 的估值。對(duì)于非平穩(wěn)信號(hào)的自適應(yīng)處理，最合適的方法是采用最小二乘自適應(yīng)濾波器。 RLS算法的優(yōu)點(diǎn)是收斂速度快，其收斂性能與輸入信號(hào)的 頻譜特性無(wú)關(guān)，但其缺點(diǎn)是計(jì)算復(fù)雜度很高，對(duì)于 N階的濾波器， RLS算法引入了數(shù)加權(quán)遺忘因子λ。粗略的說(shuō)， ??1 的倒數(shù)可以用來(lái)衡量算法的記憶能力；而 1?? 的特殊情況，則對(duì)應(yīng)于無(wú)限記憶。 由于設(shè)計(jì)簡(jiǎn) 單、性能最佳，其中 RLS 濾波器具有穩(wěn)定的自適應(yīng)行為而且算法簡(jiǎn)單，收斂性能良好。它將 數(shù)值分析 、 矩陣計(jì)算 、科學(xué)數(shù)據(jù)可視化以及非 線性 動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的 建模和仿真等諸多強(qiáng)大功能集成在一個(gè)易于使用的視窗環(huán)境中，為科學(xué)研究、工程設(shè)計(jì)以及必須進(jìn)行有效 數(shù)值計(jì)算 的眾多科學(xué) 領(lǐng)域 提供了一種全面的解決方案，并在很大程度上擺脫了傳統(tǒng)非交互式 程序設(shè)計(jì)語(yǔ)言 （如 C、 Fortran）的編輯模式，代表了當(dāng)今國(guó)際科學(xué)計(jì)算軟件的先進(jìn)水平。它在 數(shù)學(xué) 類科技應(yīng)用軟件中在 數(shù)值計(jì)算 方面首屈 一指。 本節(jié)中我們利用 MATLAB 仿真軟件，仿真系統(tǒng)框圖如下圖所示。 以下為相關(guān)程序： clear。 randn(39。, 0) 。seed39。 N=1000。 k=12。 x=(zeros(1,N))。 x(1,i)=xr(1,i)+b(i)。 p=(1/Delta)*eye(n)。 w=zeros(N,n)。 y=zeros(1,N)。./(1+x(in+1:i)*p*x(in+1:i)39。 e(1,i)=xr(i)w(i1,:)*x(in+1:i)39。 p=pK(i,:)39。 y(1,i)=w(i,:)*x(in+1:i)39。 自適應(yīng)濾波器的設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn) plot(0:Nn,xr(1,n:N),39。) ylabel(39。)。時(shí)間 39。 title(39。) grid on subplot(2,1,2)。grid。幅值 39。 xlabel(39。)。原始輸入信號(hào) xr頻域圖 39。 figure(2) subplot(2,1,1)。濾波器輸入信號(hào) x時(shí)域圖 39。幅值 39。xlabel(39。)。 plot(abs(fft(x)))。 ylabel(39。)。時(shí)間 39。 title(39。)。hold on plot(0:Nn,y(1,n:N),39。)。 title(39。) 。e(k)39。y(k)39。 plot(abs(fft(e)))。幅值 39。xlabel(39。)。 自適應(yīng)濾波器的設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn) ylabel(39。)。時(shí)間 39。 title(39。)。 plot(abs(fft(y)))。 ylabel(39。)。時(shí)間 39。 title(39。)。 圖 原始輸入信號(hào)時(shí)域及頻域圖 自適應(yīng)濾波器的設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn) 圖 濾波器輸入信號(hào)時(shí)域及頻域圖 圖 誤差信號(hào)及輸 出信號(hào)時(shí)域圖 自適應(yīng)濾波器的設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn) 圖 濾波器輸誤差信號(hào)和輸出信號(hào)頻域圖 圖 為原始輸入信號(hào) )(txr ，為單一頻率正弦波，幅值為 1，圖 為 的隨機(jī)高斯噪聲，得到濾波器輸入信號(hào) )(tx ，從頻譜圖可以看出，包含原始信號(hào)有很多頻率?？梢钥闯稣`差信號(hào)較小。由上可知，濾波效果較好。 以下做了對(duì)比實(shí)驗(yàn)，在輸入為正弦波，控制加性高斯噪聲的均值，相同均 值的隨機(jī)的噪聲都保持不變。 高信噪比 原始輸入信號(hào)是幅值為 1的正弦波，噪聲方差為 。seed39。 rand(39。, 0) 。 n=200。 b=*randn(1,N)。 for i=1:N xr(1,i)=sin(k*2*pi*i/N)。 end Delta=。 K=zeros(N,n)。 e=zeros(1,N)。 tr=zeros(1,N)。./(1+x(in+1:i)*p*x(in+1:i)39。 e(1,i)=xr(i)w(i1,:)*x(in+1:i)39。 p=pK(i,:)39。 y(1,i)=w(i,:)*x(in+1:i)39。hold on 自適應(yīng)濾波器的設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn) plot(0:Nn,y(1,n:N),39。)。 title(39。) 。幅值 39。 xlabel(39。)。 plot(0:Nn,w(n:N,1)),hold on plot(0:Nn,w(n:N,2),39。),hold off grid title(39。) 。幅值 39。 xlabel(39。)。 運(yùn)行結(jié)果： 圖 誤差信號(hào)輸出信號(hào)和抽頭權(quán)值 w變化圖 實(shí)驗(yàn)組 2程序與實(shí)驗(yàn)組 1大部分相同，改變 Delta= 自適應(yīng)濾波器的設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn) 運(yùn)行得到圖 。兩組誤差信號(hào)都很小。 低信噪比 原始輸入信號(hào)是幅值為 1 的正弦波，噪聲方差為 。其它部分 這里就不再重復(fù)。實(shí)驗(yàn)組 2 抽頭系數(shù)在 500 開(kāi)始收斂，但是誤差信號(hào)波動(dòng)較大。實(shí)驗(yàn)組 1 的全局性能較好。當(dāng)抽頭輸入噪聲電平高（即輸入信噪比較低）時(shí)， RLS 算法的正則化系數(shù)取較大的正常數(shù)收斂速度較快，濾波效果也較好，全局性能更好。 clear。 randn(39。, 0) 。seed39。 N=1000。 k=12。 for i=1:N xr(1,i)=sin(k*2*pi*i/N)。 end t=0::。 x=(zeros(1,N))。 end Delta=。 自適應(yīng)濾波器的設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn) K=zeros(N,n)。 e=zeros(1,N)。 for i=n+1:N K(i,:)=(p*x(in+1:i)39。))39。 w(i,:)=w(i1,:)+e(1,i)*K(i,:)。*x(in+1:i)*p。 end figure(1) subplot(2,1,1)。r39。幅值 39。 xlabel(39。)。原始輸入信號(hào) xr 時(shí)域圖 39。 plot(abs(fft(xr)))。 ylabel(39。)。頻率 39。 title(39。)。 plot(0:Nn,x(1,n:N)) title(39。) ylabel(39。)。時(shí)間 39。 grid 自適應(yīng)濾波器的設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn) subplot(2,1,2)。grid。幅值 39。 xlabel(39。)。濾波器輸入信號(hào) x頻域圖 39。 figure(3) plot(0:Nn,e(1,n:N))。r39。hold on grid on。誤差信號(hào) e(t)和輸出信號(hào) y(t)39。 ylabel(39。)。時(shí)間 39。 gtext(39。),gtext(39。) figure(4) subplot(2,1,