【正文】 為了準(zhǔn)確地把一個(gè)控制系統(tǒng)的復(fù)雜模型輸入給計(jì)算機(jī)，然后對(duì)之進(jìn)行進(jìn)一步的分析與仿真， MATLAB提供了新的控制系統(tǒng)模型圖形輸入與仿真工具。 MATLAB語言的幫助系統(tǒng)也近乎完備，用戶可以方便的查詢到想要的各種信息。它的操作和功能函數(shù)指令 是以平時(shí)計(jì)算機(jī)和數(shù)學(xué)書上的簡單英文單詞表達(dá)的。 吉林化工學(xué)院畢業(yè)設(shè)計(jì)說明書 27 第 4 章 基于 MATLAB 實(shí)現(xiàn)自適應(yīng)濾波器 MATLAB 語言介紹 當(dāng)計(jì)算涉及矩陣運(yùn)算或畫圖時(shí)，利用 FOTRRAN和 C 語言等計(jì)算機(jī)語言進(jìn)行程序設(shè)計(jì)是一項(xiàng)很麻煩得工作，不僅需要對(duì)所利用的有關(guān)算法有深刻的了解，還需要熟練掌握所用語言的語法和編程技巧， MATLAB正是為了免除上述局面產(chǎn)生的，它是集命令翻譯，科學(xué)計(jì)算于一身的一套交互軟件系統(tǒng)，在 MATLAB下，矩陣的運(yùn)算變得異常的容易，后來又增添了豐富多彩的圖形處理及多媒體功能，使得 MATLAB的應(yīng)用范圍越來越廣泛。由于極點(diǎn)會(huì)雜散到穩(wěn)定區(qū)域之外，自適應(yīng) IIR 濾波器設(shè)計(jì)中 碰到的一個(gè)大問題是濾波器可能不穩(wěn)定。 IIR 濾波器的首要優(yōu)點(diǎn)是可在相同階數(shù)時(shí)取得更好的濾波效果。另外，它還有以下特點(diǎn)：設(shè) 計(jì)方式是線性的 。同時(shí)，可以在幅度特性是隨意設(shè)置的同時(shí)，保證精確的線性相位。一旦輸入信號(hào)的統(tǒng)計(jì)特性發(fā)生變化，它又能夠跟蹤這種變化 ,自動(dòng)調(diào)整參數(shù) ,使濾波器重新達(dá)到最佳。 (有時(shí)還要利用 )通過某種自適應(yīng)算法對(duì)濾波器參數(shù)進(jìn)行調(diào)整 ,最終使 ??en 的均方值最小。自適應(yīng)濾波器由參數(shù)可調(diào)的數(shù)字濾波器 (或稱為自適應(yīng)處理器 ) 和自適應(yīng)算法兩部分組成，參數(shù)可調(diào)的數(shù)字濾波器可以是 FIR 數(shù)字濾波器或 IIR 數(shù) 字濾波器，也可以是格型數(shù)字濾波器。如果用瞬時(shí) ? ? ? ?nXne2? 來代替上面對(duì) ? ? ? ?? ?nXneE2? 的估計(jì)運(yùn)算，就產(chǎn)生了另一種算法 ——隨機(jī)梯度法，此時(shí)迭代公式為： ? ? ? ? ? ? ? ?nXnuenWnW 21 ??? (324) 上式的迭代公式假定濾波器結(jié)構(gòu)為橫向結(jié)構(gòu)。其思路為：設(shè)計(jì)初始權(quán)系數(shù) ??0W ，用 ? ? ? ? ? ?nunWnW ???? 1 迭代公式計(jì)算，到 ? ?1?nW 與 ??nW 誤差小于規(guī)定范圍。對(duì)于 LMS 算法 ??n? 為下式 ? ?? ?neE 2 的斜率。 LMS 算法是以最快下降曲線為原則進(jìn)行的迭代算法，即 ? ?1?nW 矢量是??nW 矢量按均方誤差性能平面的負(fù)斜率大小調(diào)節(jié)一個(gè)相應(yīng)增量，如下式所示： ? ? ? ? ? ?nunWnW ???? 1 (321) 式中 u 是由系統(tǒng)穩(wěn)定和迭代運(yùn)算收斂速度決定的自適應(yīng)步長。大多數(shù)場合使用迭代算法，對(duì)每次采樣值就求出較佳權(quán)系數(shù)，稱為采樣值對(duì)采樣值迭代算法。如語音信號(hào)的線性預(yù)測編碼 LPC 就是把語音信號(hào)分成幀進(jìn)行處理的。在有些應(yīng)用中，把輸入信號(hào)的采樣值分成相同的段（每段稱為一幀），再求出 R 、 P 的估計(jì)值得到每幀的最佳權(quán)系數(shù)。 在均方誤差 e 達(dá)到最小時(shí)，得到最佳權(quán)系數(shù) ? ?TNW * 1*1*0* , ?? ? 。 均方誤差 e 定義為： ?e )]([ 2 neE = ])()([( 2nyndE ? (314) 對(duì)于橫向結(jié)構(gòu)的濾波器，代入 )(ny 的表達(dá)式為： PnWnRWnWndEe TT )(2)()()]([ 2 ??? (315) 其中 ? ?)()( nXnXER T? 為 NN? 的自相關(guān)矩陣，它是輸入信號(hào)采樣值間的相關(guān)性矩陣。 LMS 算法的目標(biāo)是通過調(diào)整系數(shù)，使輸出誤差序列 ??en= ??dn ??yn的均方差最小，并且根據(jù)這個(gè)判據(jù)來修改權(quán)系數(shù)，該算法也因此而得名。 圖 34 橫向型濾波器的結(jié)構(gòu)示意圖 FIR 橫向性濾波器的工作原理 如圖 34 所示， 其中： ??xn自適應(yīng)濾波器的輸入 ??wn自適應(yīng)濾波器的沖激 相應(yīng)： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?1,2,1,0 ?? nwnw ? (311) ??yn自適應(yīng)濾波器的輸入： ? ? ? ? ? ?y n x n w n?? (312) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?10NTiiy n W n X n w n x n i??? ? ?? (313) 最常用的自適應(yīng)算法是最小均方誤差算法，即 LMS 算法 ， LMS 算法是一種易于實(shí)現(xiàn)、性能穩(wěn)健、應(yīng)用廣泛的算法。不過，這種濾波器始終是穩(wěn)定的，并能提供線性相位特性。這意味著輸出是輸入信號(hào)與所存儲(chǔ)的權(quán)系數(shù)或沖激響應(yīng)的卷積。輸入信號(hào)被若干 延遲單元延時(shí)，其延遲時(shí)間可以是連續(xù)的。 圖 33 IIR濾波器的一般結(jié)構(gòu) 因此濾波器輸出可表示為以下形式： ?? ? ?? ? ?? Nl klkMl lkklk ubxau 1 10 (310) 有限沖激響應(yīng)（ FIR） 濾波器 FIR 橫向型濾波器的一般結(jié)構(gòu) 如圖 34 所示。這樣表示的結(jié)果使得可以利用數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的參數(shù)估計(jì)方法來對(duì)系數(shù)θ進(jìn)行優(yōu)化，如用最大似然參數(shù)估計(jì)均方誤差方法、最小均方誤差 (LMS)算法和遞歸最小二乘(RLS)方法 等。 方差誤差自適應(yīng) IIR 濾波器與自適應(yīng) FIR 濾波器具有相似的自適應(yīng)算法和相似的收斂性解，收斂速度和系數(shù)的穩(wěn)定性都是由 Hessian 矩陣的特征值決定的。如果數(shù)據(jù)的相關(guān)陣非奇異，僅有一個(gè)全局最小點(diǎn)，則在很大程度上使方程誤差自適應(yīng) IIR 濾波器都像一個(gè)自適應(yīng) FIR 濾波器。如果不是穩(wěn)定系統(tǒng)，則應(yīng)采取某種措施，如在逆濾波器形成之前將它的根投影到單位圓內(nèi)等。 利用延遲算子，式 (31)可重新表述成更方便的形式： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?nxqnBndqnAny e , ?? (32) 式中，多項(xiàng)式表示時(shí)變?yōu)V波器，且有： ? ? ? ???? ?? 11, Nm mm qnaqnA ， 1,1 ?? Nm ? (33) ? ? ? ???? ?? 10, Mm mm qnbqnB ， 1,1,0 ?? Mm ? (34) 吉林化工學(xué)院畢業(yè)設(shè)計(jì)說明書 21 值得注意的是 ? ?,Anq 中求和的下界從 m=1開始，因此 ? ? ? ?,A n q d n 僅依賴于 ??dn的延遲樣本，這種形式的表示法可用于 在任何瞬時(shí)發(fā)現(xiàn)自適應(yīng)濾波器 ? ?,Anq 的零點(diǎn)。兩個(gè)輸為樣本輸入 ??xn和期望輸入 ??dn，輸出樣本沒有反饋回輸入端。 圖 31 自適應(yīng) IIR濾波器 方程誤差結(jié)構(gòu)形式自適應(yīng) IIR濾波器 圖 32 為方程誤差自適應(yīng) IIR 濾波器的結(jié)構(gòu)框圖，其差分方程表示式如式 (31)，可以看出，它被描述為非遞歸差分方程形式： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ??? ?? ???? 11 10Nm mMmme mnxnbmndnany (31) 基于 RLS 算法的自適應(yīng)濾波器的設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn) 20 顯然，這里 ??nam ， ??nbm 都是待調(diào)整的系數(shù)，下標(biāo)“ e”表示方程誤差法以區(qū)別輸出誤差方法。 ? 為描述濾波器具有零點(diǎn)和極點(diǎn)轉(zhuǎn)移函數(shù)的系數(shù)參數(shù)。如下圖所示：從圖 29 可以很清楚的看出， LMS 算法的收斂速度與 RLS 算法的收斂速度是不能相比的： LMS 經(jīng)過近 400次運(yùn)算才收斂，而 RLS 只需要幾十次甚至是幾次運(yùn)算就已經(jīng)收斂。在圖 28（當(dāng) ? = 時(shí) )，出現(xiàn)了一個(gè)明顯的誤調(diào)，雖然它的收斂速度較快，但這是以出現(xiàn)誤調(diào)為代價(jià)的； d)學(xué)習(xí)速度比較：學(xué)習(xí)速度是指系統(tǒng)學(xué)習(xí)信道 參數(shù)的速度，即通過訓(xùn)練序列 ? ?1Sk?的系統(tǒng)的收斂速度，學(xué)習(xí)速度與收斂速度是同步的。步長越大，收斂速度越快： ? =比 ? = 時(shí)的收斂速度快； b)穩(wěn)定性比較：穩(wěn)定性越好，算法就越健壯。 仿真結(jié)果分析 RLS 算法關(guān)于不同參數(shù) ? 的比較 圖 25 RLS算法當(dāng) ? =1時(shí) 圖 26 RLS算法當(dāng) ? =4時(shí) 吉林化工學(xué)院畢業(yè)設(shè)計(jì)說明書 17 從圖 25，圖 26 中可知： a)收斂性比較：當(dāng) ? =1 時(shí)，算法能夠收斂，而當(dāng) ? =4 時(shí)，算法無法收斂； b)穩(wěn)定性比較：只有收斂的算法才可能是穩(wěn)定的算法，所以 ? =1 比 ? =4 的情況更穩(wěn)定； c)誤調(diào)性比較：當(dāng) ? =4 時(shí)，算法無法收斂，所以此時(shí)的誤調(diào)十分明顯； d)學(xué)習(xí)速度比較：學(xué)習(xí)速度與收斂速度是同步的；亦即當(dāng) ? =1 時(shí)，效果更好。 基于 RLS 算法的自適應(yīng)濾波器的設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn) 16 LMS 算法分析 最小均方算法 (LMS)是用于減少輸入信號(hào)和經(jīng)過濾波的輸出信號(hào)之間的不規(guī)則方波的算法。平均時(shí)間的計(jì)算需要基本更多的指令，因此帶來的全面的 RLS 算法計(jì)算，比 LMS 方法要復(fù)雜。但是，如 國 ? 值太小，均衡器將會(huì)不穩(wěn)定。 ? 值對(duì)收斂速率沒有影響，但是它影響著 RLS 算法的跟蹤能力。如果信道是非時(shí)變的，那么 ? 可以設(shè)為 1。 從式 (226)中 ??Rn的定義可知，我們可以得到關(guān)于 ? ?1Rn? 的遞歸公式。 ? ? ? ? ? ?ixixnR Tni n *1 1?? ?? ? (226) ? ? ? ? ? ?ixndnPnin *11???? ? (227) 式 (226)中的方陣 ??Rn是輸入數(shù)據(jù)向量 ??xi 的確定相關(guān)矩陣，式 (226)中向量??Pn是輸入向量 ??xi 和期望輸出 ??di之間的確定互相關(guān)矩陣。如果信道是穩(wěn)定的，那么 ? 可以設(shè)為 1。為了測試新的抽頭增 益向量，會(huì)用到那些先前的數(shù)據(jù)。因 而? ?,ein 是用 n 時(shí) 刻 的 抽 頭 增 益 向 量 測 試 i 時(shí) 刻 的 舊 數(shù) 據(jù) 所 得 的 誤 差 ，吉林化工學(xué)院畢業(yè)設(shè)計(jì)說明書 13 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?10NT iie n W n X n w n x n i??? ? ??是在所有舊數(shù)據(jù)上用新抽頭增益所得的累計(jì)平方誤差。這意味著，用時(shí)間平均而不是統(tǒng)計(jì)平均來表示性能指數(shù)。 在快速收斂算法的推導(dǎo)中，我們將采用最小二乘法。 遞歸最小二乘（ RLS)算法 從 節(jié)的分析得知， LMS 算法的收斂速度很慢，為了得到較塊的收斂速度，有必要設(shè)計(jì)包含附加參數(shù)的更復(fù)雜的算法。由此可見，自適應(yīng) LMS 算法簡單，它既不需要計(jì)算輸入信號(hào)的相關(guān)函數(shù)，又不要求矩陣之逆。自適應(yīng) LMS算法如同最陡下降法，利用時(shí)間 0n? 的濾波系數(shù)矢量為任意的起始值 ??0w ，然后開始 LMS算法的計(jì)算，其步驟如下 : l)由現(xiàn)在時(shí)刻 n 的濾波器濾波系數(shù)矢量估值 ??wn，輸入信號(hào)矢量 ??xn及期望信 號(hào) ??dn，計(jì)算誤 差信號(hào) ??en: