【正文】 ?1,…, ?n), ?i為特征值 , P = (?1,…, ?n). ?i為特征值 ?i為特征向量 第四章 矩陣的特征值和特征向量 167。 特征值與特征向量 ? A? = ?? (?E–A)? = 0 |?E–A| = 0 特征方程 = ?–a11 –a12 … –a1n –a21 ?–a22 … –a2n … … … … –an1 –an2 … ?–ann 特征多項式 特征值 特征向量 ? ? ? 對每個 ?, 求 (?E–A)x = 0的基礎(chǔ)解系 ?1, ?2,? ,?t 對應(yīng)于 ?的 所有特征向量為 k1? 1+k2?2+? +kt?t , k1,? , kt 不全 為 0. 2. 計算 先解 |?E–A|=0, 求出 所有特征值 ?, 解 : 21 1 2 121 2 2 2212nnn n na a a a aa a a a aAEa a a a a?????????21121 1 2 100nnaaaaa a a a a????????121 2 11120000inininaiaia a a a acc???????????112, ,iiarrain??? ?1nT?? ? ?? ? ? ?所以 A的全部特征值為 0(n?1重根 ), T??例 3. 設(shè) ??0, ??Rn, 求 A=??T的特征值和特征向量 . 第四章 矩陣的特征值和特征向量 167。 特征值與特征向量 解 : 當 ?=0時 , (?E?A)x = 0, 即 Ax = 0. 21 1 2 1 1221 2 2 22120 0 0,0 0 0n nnn n na a a a a a a aa a a a aAa a a a a?? ???? ?????? ????????1 2 11 0 0, , ,0 1 00 0 1n? ? ??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? 1rA ?? 1 0a ?不妨設(shè) 21aa?31aa? 1naa?例 3. 設(shè) ??0, ??Rn, 求 A=??T的特征值和特征向量 . 第四章 矩陣的特征值和特征向量 167。 特征值與特征向量 對應(yīng) ?=0的 特征向量為 1111 ,nnkk??????11, nkk ?不全 為 0 此時，線性無關(guān)的特征向量只有一個 . 解 : 當 ?= ?T?時 , (?T? E?A) x = 0. 因為 Ax = x. T?? 即 x = x. T??T??注意到 TTA ? ? ? ? ? ? ? ? ????所 以 ?即為 A的對應(yīng)特征值 ? = ?T?的 特征向量 . ? ?0n kk????所 以只要找一個非零向量滿足上述方程即可 . 例 3. 設(shè) ??0, ??Rn, 求 A=??T的特征值和特征向量 . 第四章 矩陣的特征值和特征向量 167。 特征值與特征向量 r(?T?E?A) + r(x) ?n. ?r(?T?E?A) ?n?1. r(?T?E?A)+r(A) ? r(?T?E?A+A) = r(?T?E) = n. ?r(?T?E?A) = n?1. 則對應(yīng) ? = ?T?的 特征向量為 r(A)=1 例 4. 設(shè) A = (aij)n n, 證明 f(?) = |?E－ A|是 ?的 n次 多項式 , 并求 ?n, ?n－ 1的系數(shù)及常數(shù)項 . ??a11 ?a12 … ?a1n ?a21 ??a22 … ?a2n … … … … ?an1 ?an2 … ??ann f(?) = |?E－ A| = (??a11)(??a22)…( ??ann) f(0) = |－ A| 11()nnniiia?? ??? ? ?? A的 跡 , 記為 trA = (－ 1)n|A| 第四章 矩陣的特征值和特征向量 167。 特征值與特征向量 ?n, ?n1項只在主對角線乘積中 ? ?11( ) + 1n nnniiiaA??? ? ? ????二 . 特征值、特征向量的 性質(zhì) 性質(zhì) 1. 設(shè) ?1, …, ?n(實數(shù)或復(fù)數(shù) , 可重復(fù) )是 n階方 陣 A=(aij)的 n個 特征值 , 即 |?E–A| = (?–?1) (?–?2)…( ?–?n)，則 ? ?i = trA = ? aii n i =1 n i =1 ? ?i = detA = |A| n i =1 證明： |?E–A| = (?–?1) (?–?2)…( ?–?n) 第四章 矩陣的特征值和特征向量 167。 特征值與特征向量 ? ?11( ) + 1n nnniiiE A a A??? ? ? ? ??? ? ?? ?111( ) + 1nn nnniiiiEA ???? ? ? ? ???? ? ? ? ?性質(zhì) 1. 設(shè) ?1, …, ?n(實數(shù)或復(fù)數(shù) , 可以重復(fù) ) 是 n階方陣 A=(aij)的 n個 特征值 , 則 ? ?i = trA = ? aii n i =1 n i =1 ? ?i = detA = |A| n i =1 推論 1：方陣 A可逆 證明： A的特征值均不為 0, 則 ? ?i ? 0 n i =1 |A| = 所以 A可逆 . 必要性 : 設(shè) ? = 0是 A的 一個特征值 , 則 ???0, ., A? = ?? = 0, 因為 A可逆 , A?1A? = ? = 0, 產(chǎn)生矛盾 . 第四章 矩陣的特征值和特征向量 167。 特征值與特征向量 A的特征值均不為 0. ? ?第四章 矩陣的特征值和特征向量 167。 特征值和特征向量 性質(zhì) 1. 設(shè) ?1, …, ?n(實數(shù)或復(fù)數(shù) )是 n階方陣 A=(aij) 的 n個 特征值 , 則 ? ?i = trA = ? aii ， n i =1 n i =1 ? ?i = |A| n i =1 推論 1：方陣 A可逆 ? A的特征值均不為 0. 證明： 設(shè) ???0, ., A? = ??, ? A?1A? =? A?1? 性質(zhì) 2：方陣 A可逆 , ?是 A的 特征值 , 則 1/?是 A?1 的特征值 , |A|/?是 A*的特征值 . 因為 A可逆 , ? A?1? =(1/?) ?, 則 1/?是 A?1的特征值 . ? AA* = |A|E, A可逆 ? A* = |A|A?1, ? A*? = |A|A?1? = (|A|/?) ? , 則 |A|/?是 A*的特征值 . 性質(zhì) 1. 設(shè) ?1, …, ?n(實數(shù)或復(fù)數(shù) )是 n階方陣 A=(aij) 的 n個 特征值 , 則 ? ?i = trA = ? aii ， n i =1 n i =1 ? ?i = |A| n i =1 推論 1：方陣 A可逆 ? A的特征值均不為 0. 證明： 性質(zhì) 2： 方陣 A可逆 , ?是 A的 特征值 , 則 1/?是 A?1 的特征值 , |A|/?是 A*的特征值 . 性質(zhì) 3: 若 ?是 方陣 A的 特征值 , 則 ?也是 AT 的特征值 . |?E–A| = | (?E–A)T | =| ?E–AT | 性質(zhì) 4. 設(shè) ?是 A的 特征值 ,則 ?k是 Ak的 一個特征值 . 證明：因 為 ?為 A的特征值 , 即 ???0使 A?=??, 于是 (A2)? = A(A?) = A(??) = ?(A?) = ?2?, ? ???0 使 (Ak)? = ?k?, 即 ?k也是 Ak的特征值 . 第四章 矩陣的特征值和特征向量 167。 特征值和特征向量 性質(zhì) 5. 設(shè) ?是方陣 A的 一個特征值 , f是一個 多項式 , 則 f(?)是方陣 f(A)的 一個特征值 . 對于 f(?) = as?s+? +a1?+a0, f(A)? = asAs? +? +a1A?+a0? = as?s?+? +a1??+a0? = f(?)?, ? ???0 使 f(A)? = f(?)?. 則 f(?)是方陣 f(A)的 一個特征值 . 第四章 矩陣的特征值和特征向量 167。 特征值和特征向量 證明：因 為 ?為 A的特征值 , 即 ???0 使 A? =??, ? (Ak)? = ?k?, 即 ?k也是 Ak的特征值 . 性質(zhì) 4. 設(shè) ?是 A的 特征值 ,則 ?k是 Ak的 一個特征值 . 性質(zhì) 5. 設(shè) ?是方陣 A的 一個特征值 , f是一個 多項式 , 則 f(?)是方陣 f(A)的 一個特征值 . 推論 2. 若 f 是多項式 , A是 一個 方陣 , 使 f(A) = 0 (稱 f為 A的一個 零化 多項式 ), 則 A的任 一特征值 ?必滿足 f(?) = 0. ? f(?)? = 0? = 0 ? f(?)=0 證明： 對 A的任 一特征值 ? , f(?)是 f(A)的 一個特征值 . 則 ???0 使 f(A)? = f(?)? . 因為 f(A) = 0 ? ? 0 第四章 矩陣的特征值和特征向量 167。 特征值和特征向量 推論 2. 若 f是多項式 , A是 一個 方陣 , 使 f(A)