畢業(yè)論文矩陣的特征值與特征向量的若干應用(完整版)
【正文】 ....................................5 特征值與特征向量確定矩陣的方法證明及應用 ...........................5 命題的證明 ..................................................5 命題的應用 ..................................................7 線性遞推關系中特征值與特征向量的應用 ...............................7 命題的證明 ..................................................7 命題的應用 ..................................................9 特征值與特征向量在矩陣運算中的應用 ................................11 特征值與特征向量的基本性質 .................................11 性質的應用 .................................................123 小結 ...................................................................15參考文獻 .................................................................160 引言為了利用矩陣研究線性變換, 希望能找到線性空間的基使線性變換在該基下的矩陣具有最簡單的形式, 因此我們引進了特征值與特征向量. 特征值與特征向量在線性變換中起著舉足輕重的作用, 充分利用特征值與特征向量的命題與性質對我們解題帶來極大的幫助, 能使復雜的問題變的簡單, 化簡為易, 化繁為簡. 本文就矩陣的特征值與特征向量在一些解題中的應用作了初步的探討. (見參考文獻[1] [2] [4]) 1 關于矩陣的特征值與特征向量的一般理論我們知道, 在有限維線性空間中, 取了一組基之后, 線性變換就可以用矩陣來表示. 為了利用矩陣來研究線性變換, 對于每個給定的線性變換, 我們希望能找到一組基使得它的矩陣具有最簡單的形式. 從現(xiàn)在開始, 我們主要的來討論, 在適當?shù)倪x擇基之后, 一個線性變換的矩陣可以化成什么樣的簡單形式 . 為了這個目的, 先介紹特征值和特征向量的概念, 它們對于線性變化的研究具有基本的重要性．定義 設 是數(shù)域 上的一個 階方陣,若存在一個數(shù) 以及一個非零 維APnP??n列向量 ,使得nxP? x??則稱 是矩陣 的一個特征值,向量 稱為矩陣 關于特征值 的特征向量．? A?現(xiàn)在我們給出尋找特征值與特征向量的方法, 設 是數(shù)域 上 維線性空間, VPn是它們的一組基, 線性變換 就是在這組基下的矩陣是 . 設 是特征值，12n?? / A0?它的一個特征向量 在 下的坐標是 . 則由 , 這說明特?12,n?? nx0201,? x?征向量 的坐標 滿足齊次次方程組??00x???????.,021 222 10121nnnnxaxa?? ???? ??即 ()????????????.0,021202 12110 nnnxaxa??? ??? ??由于 , 所以它的坐標 不全為零, 即齊次線性方程組有非零解. 0??n0,?從而, 齊次線性方程組（ ）式, 有非零解的充分必要條件是它的系數(shù)行列式為零, 即．0021 202 112100 ?????nnn naaAE???? ?????我們引入以下定義.定義 設 是數(shù)域 上一 級矩陣, 是一個文字. 矩陣 的行列式PAE??，nnnnaaAE??????? ?????21221121稱為 的特征多項式, 這是數(shù)域 上面的分析說明, 如果 是線性變換 的特征值, 那么 一定是矩陣 的特征多0?/A0A項式的一個根。 ③ .3A1?5A解 ① ，??31021fE????????由性質 5 有,??320fAE???故.3142032???????② 由 , 可知 0 不是 的特征值, 由性質 2 知 可逆. 而??01f?AA,2111332
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