畢業(yè)論文矩陣的特征值與特征向量的若干應(yīng)用(編輯修改稿)
2025-07-19 12:51 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 屬于特征值 0 的線性無D關(guān)的特征向量組只能是任一非零常數(shù). 這表明微商為零的多項式只能是零或非零常數(shù)．(見參考文獻(xiàn)[1])2 矩陣特征值與特征向量的幾個應(yīng)用 特征值與特征向量確定矩陣的方法證明及應(yīng)用已知矩陣的特征值與特征向量確定 3 階對稱矩陣的公式．設(shè) 3 階對稱矩陣 的特征值為 , 且 對應(yīng)的特征向量為 , 則A12???1?p.321EpT???本文給出推廣到 命題的證明命題 1 設(shè) 階對稱矩陣 的特征值為 其中nAk?,21?≠ ， 對應(yīng)的特征向量為 ， .則可取kn?i?j??k,2,??i?ip??,2k???， nki TiiTkEpA?????1且為 的 重特征值．A1nk??證明 不妨設(shè), , nkki TiiTkEpB?????1 ??1ki TiiTkpC?．????12, ,2ikiiiniTpam? ?因為 兩兩正交,121,kp?? 1 ()kTikj ijknjjkjkjjBppEppp????????????，所以 為 的特征向量, 為 的對應(yīng)于 的特征向量, 且 ．j?j j ??1,2j??因為 1kTikkniBEpC????1212(,.)(,.),Tikiiiiniiiinipmamapap???????????????????11121 ,kiki kiiniiiiki TiiTkC?即矩陣 的列向量組可由向量組 線性表示, 故矩陣 的秩2,kp?? C, .??nkR???0nEBC?所以 為 的特征值．k?B又可證 為 的 重特征值, 設(shè) , 即k1nk???11,2kijijimapn????? .,1121 222112111 ???????knknnn kkpapama?? ??.???? ???????????? ???? nkkknkn aam11222111212121 , ? ???????因為 , 秩 , 故 ．0,im??? ??12,kRp?? ??,?R?不妨設(shè) 是向量組 的極大線性無關(guān)組, 則有121,ka?? na? ． 1,2??kjjjj abb? ??nkj,1,??若 ,則有??12,nnEe?? 11 1221122((),(),.()),.k k kniikiikinikni i ik nnBmapemapemapeae?????? ??? ???????做第三種初等變換將第 j 列 化為??jkj??????1122,11,1,jkj jkkkjjjjkjbbebeee n?????????????? ?令????1,2ikiiaek???????12. ,(,1.,)jjjkjjbben???????????nkkknk kn eaeaEB ?????,112121 ?? ? ???? ?而行列式 是 的最高次冪為 的多項式． 為1211,kkn?????? ? 121,k??的特征值,B．????1knnkiiBE???????綜上可知命題成立． （參考文獻(xiàn)[2] [4] ） 命題的應(yīng)用例 3 設(shè) 3 階對稱矩陣的特征值 , , ，對應(yīng)于的 , 的特征向1??2?03??1?2量依次為 ,求矩陣 ．????TTpp2,21??A解 由公式= .3223113 EppATTT ????????????021例 4 設(shè) 3 階對稱矩陣 的特征值 ， , 對應(yīng)于的 特征向量為61?32?1?求矩陣 ．??1,Tp?A 解 由公式 ．??????????4132112EpTT??綜上, 運(yùn)用該命題根據(jù)已知條件, 可簡捷快速地求出矩陣, 給我們帶來極大的方便． 線性遞推關(guān)系中特征值與特征向量的應(yīng)用用特征值和特征向量對一般線性遞推關(guān)系進(jìn)行討論． （見參考文獻(xiàn)[14] [15]） 命題的證明 命題 2 設(shè) 階線性循環(huán)數(shù)列{ }滿足遞推關(guān)系knx，knnxaax?????21 ???,21??k其線性方程組為 ??????????.,11211knknnknnxx? ?可表為矩陣形式． ????????????????????? ?????? knnkknn xxaaxx?? ?????? 321121121 010（）令， ，??????
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