矩陣特征值的求法研究畢業(yè)論文(編輯修改稿)
2024-11-12 21:31 本頁面
【文章內容簡介】 是實的，特征方 程的根也可能是復的，而且根的多重數(shù)可以是任意的甚至可以是 n 重根。這些根統(tǒng)稱矩陣 ? 的特征值。 關于特征值，有必要先集中介紹以下術語： （ 1） 稱 ? 的特征值 ? 具有代數(shù)多重度 （ algebraic multiplicity） ? ，若 ? 是特征多項式 det( z?? ?? ? ?的 ? 重根。 （ 2） 若特征值 ? 的代數(shù)多重度為 1，則稱該特征值為單特征值（ simple eigenvalue）。非單的特征值稱為多重特征值（ multiplicity eigenvalue）。 贛南師范學院 2020 屆本科生畢業(yè)論文（設計） 4 （ 3） 稱 ? 的特征值 ? 具有幾何多重度 （ geometric multiplicity） ? ，若與 ? 對應的線性無關特征向量的個數(shù)為 ? 。換言之，幾何多重度 ? 是特征空間 (ull ???? ? ?? 的維數(shù)。 （ 4） 矩陣 ? 稱為減次矩陣（ derogatory matrix），若至少有 一個特征值的幾何多重度大于 1. （ 5） 一特征值稱為半單特征值 （ semisimple eigenvalue），若它的代數(shù)多重度等于它的幾何多重度。不是半單的特征值稱為虧損特征值（ defective eigenvalue）。 一般來說，矩陣 ? 的特征值是各不相同的。若特征多項式存在多重根，則稱矩陣 ? 具有退化特征值（ degenerate enginvalue）。 需要注意的是，即使矩陣 ? 是實矩陣，其特征值也有 可能是復的。 以 Givens 旋轉矩陣 co s sinsin co s?????? ????? 為例，其特征方程 22c o s s ind e t( ( c o s ) s in 0s in c o s? ? ?? ? ? ?? ? ???? ? ? ? ? ??? ?? 然而，若 ? 不是 ? 的整數(shù)倍，則 2sin 0?? 。此時， 特征方程不可能有 ? 的實根，即 Givens 旋轉矩陣的兩個特征值都為復數(shù)，與它們對應的特征向量也是復向量。 ， 矩陣 特征值的性質 及證明 性質 1 矩陣 ? 奇異，當且僅當至少有一個特征值 ??? 。 證明 先證充分條件。將 特征值 ??? 代入特征方程，得 det(???? ，從而知矩陣 ? 奇 異 。 再證 必 要條 件 。假 定 矩陣 ? 奇異，則 det(???? ， 或 者等 價 寫 作det( 0 ) 0???? 。因此，在矩陣 ? 奇異的情況下 0?? 是矩陣 ? 的特征值。 性質 2 矩 陣 ? 和 ?T 具有相同的特征值。 證明 由行列式的性質：對于任何矩陣 ? ，恒有 det( det( ??? ? ? ?。因此，若 ? 是 矩陣 ? 的特征值，則有 d e t( d e t ( d e t(? ? ??? ??? ??? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? 最后一個特征方程說明， ? 也是轉置矩陣 ?? 的特征值，即矩陣 ? 和 ?? 具有相同的特征值。 性質 3 若 ? 是 nn? 矩陣 ? 的特 征值，則有 （ 1） k? 是矩陣 k? 的特征值。 （ 2）若 ? 非奇異，則 1?? 具有特征值 1/? 。 （ 3）矩陣 2??? ? 的特征值為 2??? 。 證明 （ 1）用歸納 法證明。先證明對 ??? ， 2? 是 2? 的特征值。假定 ?? ? ?u 是矩陣? 的特征對，即 ???uu，其中， ?u0。此式兩邊左乘矩陣 ? 后 ，得 ((??? ? ?u) u)，從而有 22( ) ( ,? ? ? ?? ? ???u u u ) u 0?u 這意味著 2(?,u) 是矩陣 2? 的特征對。 現(xiàn)在假定 1(,k?? u) 是矩陣 1k?? 的特征對，即11kk????? uu成立。在此式兩邊左乘矩陣 ? ，立即有 11( ) ( ) ,k k k k? ? ? ???? ? ???u u u u 0?u 這就證明了 k? 是 k? 的特征值。 贛南師范學院 2020 屆本科生畢業(yè)論文（設計） 5 （ 2） 因為 ? 是矩陣 ? 的 的特征值，故 det( ) 0????? 。若矩陣 ? 可逆，則有 110 d e t( ) d e t ( ) d e t
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