關(guān)于逆矩陣求法的討論畢業(yè)論文(編輯修改稿)
2025-02-12 11:10 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 .元素全為零的矩陣稱(chēng)為零矩陣，記作或簡(jiǎn)記為.兩個(gè)矩陣，如果，則稱(chēng)矩陣與為同型矩陣.如果兩個(gè)同型矩陣與的對(duì)應(yīng)元素相等，即，，則稱(chēng)矩陣與相等，記作或.[1]當(dāng)時(shí)，矩陣稱(chēng)為行矩陣或行向量.當(dāng)時(shí)，矩陣稱(chēng)為列矩陣或列向量.形如 的階方陣，即主對(duì)角線(xiàn)以外的元素都是零的方陣稱(chēng)為對(duì)角矩陣或?qū)欠疥嚕涀? . 特別當(dāng)時(shí)，這時(shí)的對(duì)角矩陣叫做階數(shù)量矩陣. 當(dāng)時(shí)，這時(shí)的數(shù)量矩陣叫做階單位矩陣，記作或，在階數(shù)不致混淆時(shí)，簡(jiǎn)記為或，即. 主對(duì)角線(xiàn)下方的元素都是零的方陣 叫做上三角矩陣. 主對(duì)角線(xiàn)上方的元素都是零的方陣 叫做下三角矩陣.[2] 性質(zhì)1 矩陣的加法運(yùn)算具有以下運(yùn)算規(guī)律：加法交換律；加法的結(jié)合律；，其中，都是矩陣.性質(zhì)2 矩陣數(shù)乘運(yùn)算滿(mǎn)足以下運(yùn)算規(guī)律：；；，其中，都是矩陣，為任意實(shí)數(shù).性質(zhì)3 矩陣乘法滿(mǎn)足的運(yùn)算規(guī)律和性質(zhì)：結(jié)合律 ；分配律 ，；數(shù)與乘法的結(jié)合律 ；當(dāng)，均為階方陣時(shí)，有；；.[3]性質(zhì)4 矩陣乘法不滿(mǎn)足交換律：例 1 已知，.求和.解 ，. 定義 設(shè)為階矩陣，如果存在階矩陣，使得成立，那么矩陣稱(chēng)為可逆矩陣，此時(shí)矩陣稱(chēng)為的逆矩陣，那么稱(chēng)為不可逆矩陣.的逆矩陣記作，即如果，那么. 性質(zhì)1 如果矩陣可逆的，那么的逆矩陣是唯一的.證明 設(shè)，都是的逆矩陣，那么有，所以的逆矩陣是唯一的.性質(zhì)2 如果可逆，那么可逆，且.性質(zhì)3 如果可逆，數(shù)，那么可逆，且.性質(zhì)4 如果可逆，那么可逆，且.性質(zhì)5 如果，都是階可逆矩陣，那么可逆，且.證明 因?yàn)? 所以可逆，且.[4] 3 逆矩陣的求法設(shè)是一個(gè)階矩陣，如果存在階矩陣，使，則稱(chēng)矩陣是可逆矩陣，并稱(chēng)是的逆矩陣.[5]例2 已知階矩陣滿(mǎn)足，證明可逆，并求出它的逆矩陣.證 由，得，則，即且，由定義可知，可逆且. 設(shè)是階矩陣，稱(chēng)矩陣稱(chēng)為的伴隨矩陣，記作，其中是中元素的代數(shù)余子式，即.定理 階矩陣可逆的充要條件是，且在可逆時(shí)，.，但對(duì)于階數(shù)較低（一般不超過(guò)3），應(yīng)注意以下幾點(diǎn)： .是的代數(shù)余子式，不是余子式，且，因此計(jì)算時(shí)千萬(wàn)不要遺漏代數(shù)符號(hào).此定理不僅給出了方陣可逆的條件，同時(shí)也給出了求逆矩陣的公式.[6] 例3 判定矩陣是否可逆，若可逆，求. 解 因?yàn)?，所以可逆，又，，，，所? 由階矩陣，作一
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