淺談函數(shù)極值的求法及應用畢業(yè)論文(編輯修改稿)
2025-07-21 21:58 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ，所以這片草地所能容納的羊的總數(shù)量是有限的。設最大容納量，則當時，；而當時，我們認為。我們從中看出，隨著羊總量的逐漸增加，其價值就會隨之下降，并且總數(shù)增加得愈快，價值就下降得愈快，所以我們假設。它的變化趨勢如圖2所示。在我們構建的模型中，如果每個牧民都會隨自己的意愿來選擇飼養(yǎng)羊的數(shù)目以最大化自己的利潤。如果購買一只羊的價值為，則第個牧民將得到的利潤就為， 。O圖2于是為了取得最大利潤，羊的數(shù)量就要滿足以下一階最優(yōu)化條件（*） ， 。即使得每個牧民獲得最大利潤的羊的數(shù)目（最優(yōu)飼養(yǎng)量）（）必是此方程組的解，我們稱為最優(yōu)解。這個方程說明了，每增加一只羊就會產(chǎn)生正負兩種效應，正效應是這只羊本身的價值的增加，負效應是這只羊的增加使之前已有羊的價值減少（因為）。從一階最優(yōu)化條件我們還能得到，第個牧民的最優(yōu)飼養(yǎng)量是受其他牧民的飼養(yǎng)數(shù)目影響的，因此我們可以認為這樣的是的函數(shù)，即，我們稱其為反應函數(shù)。在一階最優(yōu)化條件中對求導得。所以。這就表明第個牧民的最優(yōu)飼養(yǎng)量是隨著其他牧民飼養(yǎng)的數(shù)目的增加而逐漸減少的。解方程組（*）就可以得到每一個牧民的最優(yōu)飼養(yǎng)量。因為以上的計算中我們考慮的都是關于的，所以，得到的是指一下情況下的最優(yōu)飼養(yǎng)量，即每個牧民在增加飼養(yǎng)量時考慮的只是對自己的羊的價值的影響，而不是對牧場上所有羊的價值的影響。因此這樣得出的所以牧民最優(yōu)飼養(yǎng)量的總和并不一定是整個牧場總的最優(yōu)飼養(yǎng)量。而實際中，整個牧場的最大利潤應該是函數(shù)的最大值。它的一階最優(yōu)化條件為。設是使整個牧場獲得最大利潤的羊的總量，也就是整個牧場的最優(yōu)飼養(yǎng)量。那么。將（*）中的個式子相加得。通過將以上兩式相比較，利用和的單調減少性質就能得到，即個人最優(yōu)飼養(yǎng)量的總和比整個牧場的最優(yōu)飼養(yǎng)量要大。這表明沒有管理的時候共有草地有可能會被過度使用，從而無法取得最大利潤。這就是得不到管理的公共資源的悲?。═ragedy of Commons）。海洋中魚類的過度捕撈，森林的亂砍濫伐，大氣污染等的資源問題，都是“牧童”經(jīng)濟學的案例。（二）多元函數(shù)條件極值條件極值問題是指在條件組，的限制下，求目標函數(shù)的極值。在求解的過程中，最傳統(tǒng)的方法是消元法，然而，利用Lagrange數(shù)乘法就可以不直接依賴消元而求解條件極值問題。我們以二元函數(shù)為例來說，想要求函數(shù)的極值，其中受約束條件 的限制。如果把條件看成是所在的曲線方程，設曲線上的點為函數(shù)在條件下的極值點，并且在點的某鄰域內(nèi)方程能唯一地確定一個可微的隱函數(shù)，則也必定是的極值點。所以由在點可微，在點可微，我們就得到。 又當滿足隱函數(shù)定理的條件時。 把代入后又可以得到。 從而存在某一常數(shù)，使得在點處滿足如果我們引入輔助變量以及輔助函數(shù)， 則中三式就成為 這樣我們就把一個條件極值問題轉化成了討論函數(shù)的無條件極值問題。這種方法就是Lagrange數(shù)乘法。我們將中的函數(shù)稱作Lagrange函數(shù)，輔助變量稱作Lagrange乘數(shù)。由二階函數(shù)的Lagrange數(shù)乘法我們總結出多元函數(shù)Lagrange數(shù)乘法的步驟如下：（1）確定目標函數(shù)和條件組；（2）作Lagrange函數(shù)，其中的個數(shù)為條件組的個數(shù)；（3）求Lagrange函數(shù)的穩(wěn)定點（4）對每個穩(wěn)定點（可能的極值點）據(jù)理說明是否為條件極值點。定理8 如果點為函數(shù)滿足約束條件的條件極值點，那么，必定存在個常數(shù)，使得在點成立。若將Lagrange乘數(shù)法推廣到一般情形。同樣可以構造Lagrange函數(shù)，那么條件極值點就在方程組（*） 的所有解所對應的點中。定理9 設點及個常數(shù)滿足方程組（*），那么當方陣為正定（負定）陣時，就是滿足約束條件的條件
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