【文章內(nèi)容簡介】 考慮 n階矩陣的情況： 設(shè)矩陣 nnRA ?? 是對稱矩陣，記 AA?0 ，對 A 作一系列旋轉(zhuǎn)相似變換，即 ),2,1(1 ??? ? kPAPA Tkkkk 其中 ? ??,2,1?kAk 仍是對稱矩陣， kP 的形式 )()()()( kijkijkjjkii PPPP ??? 也就是 ?? s in,c o s )()()()( ?????? kqpkpqkqqkpp pppp qpjipp kijkii ,01 )()( ??? 對任何角 ? ，可以驗證： kP 是一個正交陣，我們稱它是 ? ?ji, 平面上的旋轉(zhuǎn)矩陣， 相應(yīng)地把變換（ ）稱為旋轉(zhuǎn)變換； kP 和 Ｉ 僅在 ??ii, 、 ? ?jj, 、 ? ?ji, 和 ? ?ij, 上不同， 1?kkAP只改變 1?kA 的第 p 行，第 q 行的元素， kkk PAP 1? 只改變 A 的第 p 行、 q 行、 p 列、 q 列的元素； kA 和 1?kA 的元素僅在第 p 行（列）和第 q 行（列）不同，它們之間有如下的關(guān)系： 南京師范大學泰州學院畢業(yè)論文 9 qpiaaaa aaaa kqikiqkipkiqkpikiqkipkip ,c oss i ns i nc os)()1()1()()()1()1()( ?????????????????????????? ? ???????????????????????????)s i n( c osc oss i nc osc oss i n2s i ns i nc oss i n2c os22)1()1()1()(2)1()1(2)1()(2)1()1(2)1()(????????????kpqkqqkppkpqkqqkpqkppkqqkqqkpqkppkppaaaaaaaaaaaa 我們選取 kP ，使得 0)( ?kpqa ，因此需使 ? 滿足 )1()1()1(22tan????? kqqkppkpqaa a? 常將 ? 限制在下列范圍內(nèi) 44 ??? ??? 如果 0)1()1( ?? ?? kqqkpp aa ，當 0)1( ??kpqa 時，取 4??? ；當 0)1( ??kpqa 時，取 4?? ?? 實際上不需要計算 ? ，而直接從三角函數(shù)關(guān)系式計算 ?sin 和 ?cos ，記 ? ?????? ??? ?? ?????)1()1()1()1()1(2s g n kijkjjkiikjikiiaaaxaay 則 yx??2tan 當 4??? 時，有下面三角恒等式： 2222 2t a n112c os1c os2 yx y?????? ??? 于是 222 1c os2 yxy???? ?cos 始終取正值 ， 關(guān)于 ?2sin 的計算有幾種方法，最簡單的一種是利用公式?? 22 cos1sin ?? ，這個方程有一個缺點，當 ?2cos 接近于 1 時， ?2cos1? 的有效位數(shù)就不多了，為避免這個缺點，采用下面公式計算 ?sin 222c os2t a nc oss i n22s i n yxx????? ????? 南京師范大學泰州學院畢業(yè)論文 10 由于 kA 的對稱性，實際上只要計算 kA 的上三角元素，而下三角元素由對稱性獲得，這樣即節(jié)省了計算量，又能保證 kA 是嚴格對稱的。 一般地，不能指望通過有限次旋 轉(zhuǎn)變換把原矩陣 A 化為對角陣，因為 1?kA 中的零元素（在前面變換中得到的）可能在 kA 中成為非零元素，盡管如此，仍可以證明： ? ?ikA ?diag? 當 ??k 時 其中 1? 是矩陣 A的特征值，但沒有一定的大小排列順序 . 例 用雅可比方法求矩陣 ??????????????210121012A 的特征值與特征向量 . 解 ： 首先取 2,1 ?? ji ,由于 22211 ??aa ,故取 4??? ,所以 ???????????????? ???1000212102121121 PP ??????????????????????2212121302101111 APPAT 再取 3,1 ?? ji 由 221 )21(22t an ?????? 得 88 os,45 in ?? ?? 所以 ?????????? ??0102P 南京師范大學泰州學院畢業(yè)論文 11 ?????????????????222 APPA T 繼續(xù)做下去 ,直到非對角線元素趨于零 ,進行九次變換后 ,得 ???????????4 1 4 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 7 5 9A 9A 的對角線元素就是 A的特征值，即 4 1 4 2 ,0 0 0 0 ,5 8 7 5 321 ??? ??? 相應(yīng)的特征向量為 ?????????????????????????????????? ??,321 ??? 相應(yīng)的特征值的精確值 22,2,22 321 ????? ??? 相應(yīng)的特征向量為 ???????????????????????????????? ???????????????????212121,21021,212121321 ??? 由此可見，雅可比方法變換九次的結(jié)果已經(jīng)相當精確了 . QR 法求特征值與特征向量 QR 算法也是一種迭代算法 ,是目前計算任意實的非奇異矩陣全部特征值問題的最有效的方法之一 .該方法的基礎(chǔ)是構(gòu)造矩陣序列 ? ?KA ,并對它進行 QR 分解 . 由線性代數(shù)知識知道 ,若 A 為非奇 異方陣 ,則 A 可以分解為正交矩陣 Q 與上三角形矩陣 R 的乘積 ,即 QRA? ,而且當 R 的對角線元素符號取定時 ,分解式是唯一的 . 若 A 為奇異方陣 ,則零為 A 的特征值 .任取一數(shù) p 不是 A 的特征值 ,則 pIA? 為非奇南京師范大學泰州學院畢業(yè)論文 12 異方陣 .只要求出 pIA? 的特征值 ,就很容易求出 A 的特征值 ,所以假設(shè) A 為非奇異方陣 ,并不妨礙討論的一般性 . 設(shè) A 為非奇異方陣 ,令 AA?1 ,對 1A 進行 QR 分解 ,即把 1A 分解為正交矩陣 1Q 與上三角形矩陣 1R 的乘積 111 RQA? 做矩陣 111112 QARA T?? 繼續(xù)對 2A 進行 QR 分解 222 RQA? 并定義 222223 QARA T?? 一般地 ,遞推公式為 111 RQAA ?? ?,3,2,1 ???? KQARA KKTKKKK QR算法就是利用矩陣的 QR分解 ,按上述遞推公式構(gòu)造矩陣序列 ??KA .只要 A為非奇異方陣 ,則由 QR算法就完全確定 ??KA .這個矩陣序列 ??KA 具有下列性質(zhì) . 性質(zhì) 1 所有 KA 都相似 ,它們具有相同的特征值 . 證明 因為 KKTKKKK QARA ???1 ??? ??? KKKTKTK A 111 KTTKTK A ?? 2111?? 若令 KK ?21? ,則 KQ 為正交陣 ,且有 KTKK A ? 因此 KA 與 A 相似 ,它們具有相同的特征值 . 性質(zhì) 2 KA 的 QR 分解式為 KKK RQA ? 其中 1121 , RRRR kkkkk ?? ??? 證明 用歸納法 .顯然當 k=1 時 ,有 111 RQAA ?? 假設(shè) 1?kA 有分解式 111 ??? ? kkk RQA 于是 11121 )( RRRRQ kkkkkk ??? ? 11 ??? kkk RAQ 因為 11 ??? kTkk AA ,所以 kkkkkk ARQARQ ?? ?? 11 南京師范大學泰州學院畢業(yè)論文 14 因為 kQ , ,21 ? 都是正交陣 ,所以 kQ 也是正交陣 ,同樣 kR 也是上三角形陣 ,從而 kA 的QR 分解式為 kkk RQA ? 由前面的討論知 kTkk AA ??1 .這說明 QR 算法