【文章內(nèi)容簡介】 構(gòu)成 V2的一個基，所以 V2＝ L（ α 1+α 2+α 3）．因此 σ 的屬于特征根 2 的一切特征向量為 k（ α 1+α 2+α 3）， k∈ R， k≠ 0． ④ 注意：求 A 的特征根時，要考慮給定的數(shù)域，若沒有指定數(shù)域，就在 C 內(nèi)討論；表示屬于某個特 征根的特征向量 (關于基礎解系 )組合系數(shù)要取自指定的數(shù)域 F(或 C)，且不全為零 矩陣的特征值與特征向量分 析及應用 9 第三章 特征值和特征向量在生活中的應用 矩陣的特征值和特征向量理論在經(jīng)濟分析、生命科學和環(huán)境保護等領域都有著廣泛而重要的應用 .其中，經(jīng)濟發(fā)展與環(huán)境污染的增長模型，萊斯利（ Leslie）種群模型這兩種模型，矩陣的特征值和特征向量在其應用起著重要的作用。 經(jīng)濟發(fā)展與環(huán)境污染的增長模型 經(jīng)濟發(fā)展與環(huán)境污染是當今世界亟待解決的兩個突出問題 .為研究某地區(qū)的經(jīng)濟發(fā)展與環(huán)境污染之間的關系，可建立如下數(shù)學模型： 設 00,yx 分別為某地區(qū)目前的環(huán)境污染水平與經(jīng)濟發(fā)展水平， 11,yx 分別為該地區(qū) 若干年后的環(huán)境污染水平和經(jīng)濟發(fā)展水平，且有如下關系： 令 則上述關系的矩陣形式為 此式反映了該地區(qū)當前和若干年后的環(huán)境污染水平和經(jīng)濟發(fā)展水平之間的關系 . 如 則由上式得 由此可預測該地區(qū)若干年后的環(huán)境污染水平和經(jīng)濟發(fā)展水平 . 一般地，若令 tt yx, 分別為該地區(qū) t 年后的環(huán)境污染水平與經(jīng)濟發(fā) 展水平，則經(jīng)濟發(fā)展與環(huán)境污染的增長模型為 ???????001001 223 yxy yxx?????????????????? 111000 , yxyx ?? ????????? 22 13A.01 ?? A??????????????????? 11000 yx?001 4114441122 13 ??? ????????????????????????????????????? A),2,1(2231111 ktyxy yxxtttttt ?????????????矩陣的特征值與特征向量分 析及應用 10 令 則上述關系的矩陣形式為 由此，有 由此可預測該地區(qū) t年后的環(huán)境污染水平和經(jīng)濟發(fā)展水平 . 下面作進一步地討論： 由矩陣 A 的特征多項式 得 A 的特征值為 對 度 41?? ，解方程 0)4( ?? XAE 得特征向量 對 11?? ，解方程 0)( ?? XAE 得特征向量 顯然 , 21,?? 線性無關 下面分三種情況分析： Case 1 一個性質(zhì) :若 ? 是矩陣 A的屬于特征值 ? 的特征向 ,則 ? 也是 kA 的屬于特征值 k? 的特征向量 度 (*) 由 (*)及特征值與特征向量的性質(zhì)知， 即 或 ????????? ttt yx?ktA tt ,2,1,1 ??? ???.)(,010323021201???????????ttt AAAAAAA?????????? ??)1)(4(22 13|| ????? ???? ????? AE1,4 21 ?? ??????????? 111??????????? 212??????????? 1110 ?????????????? 1141110 ttttt AA ?????????????????????? 114tttyx ttt yx 4??矩陣的特征值與特征向量分 析及應用 11 此式表明：在當前的環(huán)境污染水平和經(jīng)濟發(fā)展水平 的前提下， t 年后，當經(jīng)濟發(fā)展水平達到較高程度時，環(huán)境污染也保持著同步惡化趨勢 . 020 ???y? ? 不討論此種情況 0?? 不是特征值 , ? 不能類似分析。但是 0? 可以由 21 ??， 唯一線性表出來 210 23 ??? ?? 由 (*)及特征值與特征向量的性質(zhì) 即 由此可預測該地區(qū)年后的環(huán)境污染水平和經(jīng)濟發(fā)展水平 . 因無實際意義而在 Case 2 中未作討論，但在 Case3 的討論中仍起到了重要作用 . 由經(jīng)濟發(fā)展與環(huán)境污染的增長模型易見，特征值和特征向量理論在模型的分析和研究中獲得了成功的應用 . ???????? ??? 212 20 ??C as e????????? 713 0?C as e,221121210443243211211432323)23(?????????????????????????????????????????ttttttttttt AAAA??????????,443243 ?????????????????????ttttyx,243 ??? ttx 443 ??? tty2?矩陣的特征值與特征向量分 析及應用 12 萊斯利（ Leslie）種群模型 萊斯利種群模型研究動物種群中雌性動物的年齡分布與數(shù)量增長之間的關系 。 設某動物種群中雌性動物的最大生存年齡為 L(單位：年），將區(qū)間 [0,L]作 n 等分得n 個年齡組 每個年齡組的長度為 設第 i 個年齡組 的生育率（即每一雌性動物平均生育的雌性幼體的數(shù)目）為 α i，存活率（即第 i個年齡組中可存活到第 i+1個年齡組的雌性動物的數(shù)目與 第 i 個年齡組中雌性動物的總數(shù)之比）為 bi 。 令 即為初始時刻該動物種群中雌性動物的年 齡分布向量 。 取 設在時刻 tk 該動物種群的第 i 個年齡組中雌性動物的數(shù)目為 令 則 X(k)即為時刻 tk 該動物種群中雌性動物的年齡分布向量 .顯然，隨著時間的變化，該動物種群的各年齡組中雌性動物的數(shù)目會發(fā)生變化 . 易知，時刻 tk 該動物種群的第一個年齡組中雌性動物的數(shù)目等于在時段[tk1,tk]內(nèi)各年齡組中雌性動物生育的雌性幼體的數(shù)目之和，即