a不同特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量線性無(wú)關(guān)(編輯修改稿)
2025-06-16 23:23 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ? ? ?T T T T例 3 ?? 1 ? ??ATΛT 1111??????????TT1 6 60 1 20 0 1??????????9 1 9()? ???A T T 91? ? ?TT 1? ? ?T T A18 實(shí)對(duì)稱(chēng)陣的 的正交相似對(duì)角化 19 實(shí)對(duì)稱(chēng)陣的特征值與特征向量 實(shí)對(duì)稱(chēng)陣的性質(zhì) : 性質(zhì) 1 實(shí)對(duì)稱(chēng)陣的特征值都是實(shí)數(shù) . 性質(zhì) 2 實(shí)對(duì)稱(chēng)陣 對(duì)應(yīng)于不同特征值的 實(shí) 特征向量必正交 . 證 設(shè) A是 n階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣 , ?????是 A的的特征值 ,且 A??= ?? ??, A?2= ?2 ?2 往證 ?1T?2= 0. ?1?1T?2 = (?1?1 ) T ?2= (A?1 )T?2 =?1TAT?2 =?1T(A?2) = ??T(?2 ?2)= ?2?1T ?2 ?(?1 ?2)?1T?2 = 0 ? ?1T ?2 = 0. 20 實(shí)對(duì)稱(chēng)陣 的正交相似對(duì)角化 實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣可以正交相似對(duì)角化 . 11T2n????????????????P A P P A P其中 是 A的特征值 . , , , n? ? ?12證 A為 n階實(shí)對(duì)稱(chēng)陣 , 有 定理 即 :若 A為 n階實(shí)對(duì)稱(chēng)陣 , 則 ?正交陣 P, 使得 (證明過(guò)程給出方法 ) 21 不同特征值 λ1 λ2 … λs 代數(shù)重?cái)?shù) r1 r2 … rs 幾何重?cái)?shù) r1 r2 … rs 無(wú)關(guān)特征向量 X11 … X1r1 X21… X2r2 … Xs1… Xs rs 標(biāo)準(zhǔn)正交化 標(biāo)準(zhǔn)正交 特征向量 則 … 12 ,n??????????????A P P12Tn????????????P A P???為正交陣 11 1 1, rPP 221 2, rPP1 , ss srPP1 21 1 1 2 1 12( , , , , , , , , , )sr s s rr?P P P P P P P令 22 推論 實(shí)對(duì)稱(chēng)陣的任一特征值的 代數(shù)重?cái)?shù) =幾何重?cái)?shù) . () 0 i? ??E A X)( iiR n r? ? ? ?EA即方程組 的基礎(chǔ)解系恰好含有 ri個(gè)向量 . 23 設(shè)三階實(shí)對(duì)稱(chēng)陣 A 的特征值為 1,1,1, 1所 對(duì)應(yīng)的特征向量為 (0,1,1)T . 求 1對(duì)應(yīng)的特征向量 . 例 1 X= k(1,0,0)T +l (0,1,1)T 解 設(shè) X =(x1,x2,x3 ) T, k ,l是 不全為零的任意常數(shù) . T( 0 , 1 , 1 )1 ?X( , ) 0 , 01 2 3xx? ? ? ?XX24 解 例 2 設(shè)三階實(shí)對(duì)稱(chēng)陣 A 的特征值為 1,2,2, 2對(duì)應(yīng)的特征向量為 (1,1,0)T (0,1,1)T . 求 A的屬于 1的實(shí)單位特征向量 . 設(shè) X =(x1,x2,x3 ) T, TT( 1 , 1 , 0 ) , ( 0 , 1 , 1 )??XX12( , ) 0 , ( , ) 0 , 1? ? ?X X X X X120012232221 2 31xxxxxxx? ??????? ? ? ??，12322221 2 31xxxxxxx? ??????? ? ? ??25 333333?????????????????
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