[經(jīng)濟學]特征值與特征向量(編輯修改稿)
2025-11-15 02:35 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 nnnnyxayxayxa?22221111 這樣的方程非常容易解 定理 n階方陣 A可對角化 當且僅當 A有 n個線性無關(guān)的特征向量 證 :必要性 設 n階矩陣 A可對角化 , 即存在可逆矩陣 T, 使得 BATTn???????????????????211從而有 AT=TB, 將 T按列分塊 T=(?1,?2,…, ?n) AT=BT, B為對角陣 ,T可逆 T=(?1,?2,…, ?n) ),...,(),...,(),...,(2211212121nnnnnAAAAT???????????????????????????????得 A?i=?i?i, 即 ?i是 A的屬于 ?i的特征向量(i=1,2,…, n). 又因 T可逆 , 故 T的秩為 n 從而 ( ?1,?2,…, ?n)線性無關(guān) 充分性 設 ?1,?2,…, ?n是矩陣 A的 n個線性無關(guān)的分屬于特征值 ?1,?2,…, ?n的特征向量 , 即有 A?i=?i?i, i=1,2,…, n. 因 ?1,?2,…, ?n線性無關(guān) , 則以 ?1,?2,…, ?n為列向量的矩陣 P=(?1,?2,…, ?n) 的秩為 n, 從而 P可逆 因各個特征向量為列向量拼成的矩陣 P可逆 BAPPPBAAAAAPnnnnnn??????????????????? 1212122112121),(),(),(),( 即有???????????????????????因此 A可對角化 從定理的證明可以知道 : 如 A可對角化 , 則對應的對角矩陣對角線上的元素正好是 A的全部特征值 (相同的按重復的次數(shù)計算 ). 而對角化所需的可逆矩陣的第 j個列向量是 A的屬于位于對應的對角矩陣對角線上第 j個特征值的特征向量 . 因此 , 將 A對角化的步驟為 :將各個線性無關(guān)的特征向量按列向量從左到右排成一個矩陣時 , 這個矩陣可將 A對角化成一個對角矩陣其特征值從左上角到右下角排列 . 對角化的例 1 ??????????????????????1121121對應特征向量對應特征向量??A),1(0112111d i a gATTT????????????????
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