ch8矩陣特征值問題計算(編輯修改稿)
2025-02-15 08:18 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 v(2i+1)??12i+1(a1x1a2x2) ])1([ 22111)( xxv aa kkk ??? ?于是有 nivv kiki ,2,1,/ )()2(1 ??? ?? x1?v(k+1)+?1v(k) , x2?v(k+1)?1v(k) 對于規(guī)范化的冪法，由于 u(k+2)=v(k+2)/?k+2=Au(k+1)/?k+2 =Av(k+1)/?k+1?k+2=A2u(k)/?k+1?k+2 于是有 ，211 ??? kk ??? 12 ?? ?? x1??k+1u(k+1)+?1u(k) , x2??k+1u(k+1)?1u(k) 的按模最大特征值和相應(yīng)的特征向量。 例 4 用乘冪法求矩陣 ????????????????13162216114A 解 取初始向量 u(0)=v(0)=(1,1,2)T ,計算可得 K ? k u(k) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11 (1,1,2)T (, , 1)T (, , 1)T (, , 1)T (, , 1)T (, , 1)T (, , 1)T (, , 1)T (, , 1)T (, , 1)T (, 1, 1)T (, 1, 1)T (, 1, 1)T (, 1, 1)T 167。 加速技術(shù) 由于 21() 1m a x ( ) ( ) ( 8 . 2 )kkk vo ????? ? ?所以 ,乘冪法收斂速度取決于比值 |?2/?1|,當(dāng) |?2/?1|?1時 ,收斂是很慢的 . 加速方法 由 ()式可知 x2=?13u(13)?1u(12)=(0 , , )T. 4, 213121 ?????? ???? x1=?13u(13)+?1u(12)=(, , )T, 實際上 , A的特征值為 ?1=4,?2=4,?3=1. 可見 ,序列 ??k?線性收斂于 ?1 . 會達(dá)到加速收斂的目的 . 0lim12111 ??????? ??????kkk 構(gòu)造 Aitken序列 kkkkkkk ???????????????12212)(~ 如把 Aitken加速方法用于例 3,則有 ? k u(k) 10 … (1,1,1)T (1,)T (1,)T (1,)T ………………….. (1,)T (1,)T (1,)T k 0 1 2 3 … 10 11 12 ……… k?~ 作矩陣 B=ApI, 則 B的特征值為 mi=?ip(i=1,2,…,n), 而且對應(yīng)的特征向量相同 . 則對 B應(yīng)用乘冪法可達(dá)到加速收斂的目的。 解 由于 A的特征值為 ?1=6,?2=3,?3=2,故取 p=,則 B的特征值為m1=,m2=,m3=,則 如果選取 p,使 m1仍然是 B的按模最大特征值，且滿足 取初始向量 u(0)=v(0)=(1,1,1)T,由規(guī)范化計算公式 : 121212???? ????ppmm例 5 用原點位移法求例 3中矩陣 A的按模最大的特征值和特征向量 . ????????????????? EAB計算可得 ???????? ?,3,2,1,)()(kkkk?vu)m a x ( )( kk v??)1()( ?? kk Buvk ?k U(k) 0 1 2 3 4 5 6 (1,1,1,)T (1,)T (1,)T (1,)T (1,)T (1,)T (1,)T 這是因為 |?2/?1|=1/2,而 |m2/m1|=1/7,故對 B應(yīng)用乘冪法遠(yuǎn)比對 A應(yīng)用乘冪法收斂的快 . 反冪法是求矩陣按模最小的特征值和相應(yīng)特征向量的方法 . 取 ,?1??6+=,x1?u(6)=(1,)T 167。 反冪法 設(shè) A是 n階非奇異矩陣 , 其特征值為 |?1| ? |?2| ? … ? |?n1| |?n| 0 對應(yīng)的特征向量為 x1,x2,…,x n, 則有 A1的特征值為 1211111???? ???? ?? ?nnn對應(yīng)的特征向量為 xn,xn1,…,x 1. 要想求 ?n和 xn只需對 A1應(yīng)用乘冪法 ,任取初始向量 u(0)=v(0)?0, 作 也可將上式改寫成 ???????? ?,3,2,1,)()(kkkk?vu)m a x ( )( kk v??)1(1)( ??? kk uAv)1()( ?? kk uAv)m a x ( )( kk v??( ) ( )( 8 .3 ), 1 , 2 , 3 ,kk k k????? ? ? ?? uv式 ()稱為反冪法 . 顯然有 )m a x (/lim,1lim )( nnkknkkxxu ?????? ??每一步求 v(k)需要求解線性方程組 , 可采用 LU分解法求解 . 反冪法還可結(jié)合原點位移法應(yīng)用 .設(shè)已求得矩陣 A的特征值 ??i的某個近似值 對 B應(yīng)用反冪法可求出精度更高的 ?i和 xi. 設(shè)已求得例 3中矩陣 A的特征值的近似值 ?1?,和相應(yīng)的特征向量 x1?(1,)T, 試用帶原點位移的反冪法求 ?1和 x1的更精確的值 . ii p ?? ~,~ ?
教學(xué)課件相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號-1