數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)畢業(yè)論文多元函數(shù)的極值及其實際應(yīng)用(編輯修改稿)
2024-08-21 06:21 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 小值. 這種使函數(shù)取得最大值或最小值的點既可能在的內(nèi)部,也可能在D的邊界上. 我們假定, 函數(shù)在上連續(xù)、在內(nèi)可微分且只有有限個駐點, 這時如果函數(shù)在的內(nèi)部取得最大值(最小值), 那么這個最大值(最小值)也是函數(shù)的極大值(極小值).因此,求最大值和最小值的一般方法是: 將函數(shù)在內(nèi)的所有駐點處的函數(shù)值及在的邊界上的最大值和最小值相互比較,其中最大的就是最大值,如果根據(jù)問題的性質(zhì),知道函數(shù)的最大值(最小值)一定在的內(nèi)部取得,而函數(shù)在內(nèi)只有一個駐點,那么可以肯定該駐點處的函數(shù)值就是函數(shù)在上的最大值(最小值). 多元函數(shù)極值的實際應(yīng)用的思路[8] 實際問題的提出在學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)應(yīng)用時, 我們經(jīng)常遇到一道經(jīng)典的導(dǎo)數(shù)應(yīng)用題目是“做成一個容積一定的圓柱形的無蓋(或有蓋)容器, 問應(yīng)當(dāng)如何設(shè)計, 才能使用料最省, 這時圓柱的直徑和高之比為多少?” 我們知道易拉罐的主體部分是正圓柱體, : 1時, , 這只是一種近似的結(jié)果, 那實際的可口可樂、雪碧、健力寶等銷量極大的易拉罐的包裝究竟設(shè)計成什么樣子? 頂蓋的直徑和從頂蓋到底部的高之比為多少? 它們的形狀為什么是這樣的?通過測量得到（表格轉(zhuǎn)下一頁）:說 明尺 寸上底厚下底厚側(cè)面厚上蓋半徑正圓柱體部分半徑正圓柱部分的高圓臺高整個易拉罐高易拉罐的實際容積可樂的凈含量說明尺寸上底厚下底厚側(cè)面厚上蓋半徑正圓柱體部分半徑正圓柱部分的高圓臺高整個易拉罐高易拉罐的實際容積可樂的凈含量，根據(jù)以上數(shù)據(jù)我們對部分?jǐn)?shù)據(jù)近似取值為: 小數(shù)點后兩位. 分析和假設(shè) 假設(shè)除易拉罐的頂蓋外(頂蓋的硬度比其他的材料要硬)罐的厚度相同,記作. 假設(shè)硬度體現(xiàn)在同樣材料的厚度上, 記頂蓋的厚度為 (測量得知,頂蓋厚度大約是其他部分的材料厚度的3倍).注: 以上假設(shè)是模型討論過程中的全局性的假設(shè), 在以后的分布討論中, 我們可能引入新的局部性假設(shè). 模型建立及求解 明確變量和參數(shù)設(shè)飲料罐的半徑為(直徑),罐的高為,罐內(nèi)體積為,是自變量, 所用材料的體積是因變量,而和是固定參數(shù),： ,注意,飲料罐側(cè)面的體積應(yīng)為因為 ,所以可以忽略. 建立模型記 其中S是目標(biāo)函數(shù),是約束條件, V是已知的(即罐內(nèi)體積一定) ,即要在體積一定的條件下求表面積最小的r, h和a使得r, . 模型的求解178。 從約束中解出一個變量,化條件極值問題為求一元函數(shù)的無條件極值問題從解出 代入S,使原問題化為:求使最小,即求r使最小.令其導(dǎo)數(shù)為零得 解得駐點為因此測量數(shù)據(jù)為 ,即, ，.,因此,這個r確實使S達(dá)到局部極小,因為駐點只有一個,因此也是全局極小.178。 應(yīng)用算術(shù)幾何平均值不等式(當(dāng)時有明顯的幾何意義, 即周長相等的矩形中正方形的面積最大,三棱長相等的長方體中正方體的體積最大)., ,當(dāng)且僅時等號成立.令 ,于是有當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立,即,結(jié)果相同.178。 Lagrange乘數(shù)法(增加一個變量化條件極值問
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