畢業(yè)論文-數(shù)學(xué)歸納法及其在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用(編輯修改稿)
2025-05-04 02:53 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 等又因?yàn)閷?duì)頂角相等所以等量代換圖1 平行相交 數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法是數(shù)學(xué)中最基本也是最重要的方法之一它在數(shù)學(xué)各個(gè)分支里都有廣泛應(yīng)用該方法早期叫逐次歸納法始見于英國數(shù)學(xué)家得摩根18061871或完全歸納法始見于德國數(shù)學(xué)家戴德金18311916但后來人們更喜歡用數(shù)學(xué)歸納法的名稱因?yàn)樗荏w現(xiàn)論證的嚴(yán)格性和科學(xué)性而不與邏輯學(xué)中的歸納法混淆數(shù)學(xué)上最早使用數(shù)學(xué)歸納法的人首推法國數(shù)學(xué)家帕斯卡16231662但他并未確立方法的理論依據(jù)直到意大利數(shù)學(xué)家皮亞諾Peano18551932[2][3]12 數(shù)學(xué)歸納法的基本原理及其其它形式 數(shù)學(xué)歸納法的基本原理 在了解數(shù)學(xué)歸納法的基本原理前我們不妨先來回想一下小時(shí)候?qū)φ麛?shù)的認(rèn)識(shí)過程首先父母叫我們數(shù)后來數(shù)有必有每一個(gè)正整數(shù)后面都有一個(gè)正整數(shù)于是我們說會(huì)數(shù)數(shù)了事實(shí)上數(shù)學(xué)歸納法正是基于這樣一個(gè)簡單原理數(shù)學(xué)歸納法來源于皮亞諾自然公理自然數(shù)有以下性質(zhì) 1 是自然數(shù) 2 每一個(gè)確定的自然數(shù)都有一個(gè)確定的隨從也是自然數(shù) 3 非隨從即 4 一個(gè)數(shù)只能是某一個(gè)數(shù)的隨從或者根本不是隨從即由一定能推得 5 任意一個(gè)自然數(shù)的集合如果包含并且假設(shè)包含也一定包含的隨從那么這個(gè)集合包含所有的自然數(shù)后來因?yàn)榘岩沧鳛樽匀粩?shù)所以公理中的要換成 其中的性質(zhì) 5 是數(shù)學(xué)歸納法的根據(jù)有了這一原理就有了數(shù)學(xué)歸納法設(shè)是與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題如果 1 命題當(dāng)時(shí)正確即正確 2 在假設(shè)正確的前提下可以證明命題也正確那么命題對(duì)任意正整數(shù)都是正確的數(shù)學(xué)歸納法的正確性驗(yàn)證是根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的原理能否完成對(duì)與自然數(shù)有關(guān)命題的無限次論證即數(shù)學(xué)歸納法是否可靠下面我將結(jié)合正整數(shù)最小原理即任何非空正整數(shù)集合一定含有最小數(shù)來驗(yàn)證數(shù)學(xué)歸納法是否正確命題任何非空正整數(shù)集合一定含有最小數(shù)證明在這集合里任意取一個(gè)數(shù)大于的不必討論了我們需要討論的是那些不大于n1 不一定從開始也就是數(shù)學(xué)歸納法里的兩句話可以改成如果當(dāng)?shù)臅r(shí)候這個(gè)命題是正確的又從假設(shè)當(dāng)時(shí)這個(gè)命題是正確的可以推出當(dāng)時(shí)這個(gè)命題也是正確的那么這個(gè)命題時(shí)都正確這是第一數(shù)學(xué)歸納法的變著也叫做跳躍數(shù)學(xué)歸納法求證邊形個(gè)內(nèi)角的和等于這里就要假定 證明當(dāng)時(shí)我們知道三角形三個(gè)內(nèi)角的和是所以當(dāng)時(shí)命題是正確的假設(shè)當(dāng)時(shí)命題也是正確的設(shè)是邊形的頂點(diǎn)做線段它把這個(gè)邊形分成兩個(gè)圖形一個(gè)是邊形另一個(gè)是三角形并且邊形內(nèi)角的和等于后面兩個(gè)圖形的內(nèi)角和的和就是也就是說當(dāng)時(shí)這個(gè)命題也是正確的因此定理得證 2第二句話也可以改為如果當(dāng)適合于時(shí)命題正確那么當(dāng)時(shí)命題也正確由此同樣可以證明對(duì)于所有命題都正確這種屬于第二數(shù)學(xué)歸納法的變著我們知道對(duì)于任意自然數(shù)有反之若且有成立嗎證明當(dāng)時(shí)由及得命題成立 假設(shè)當(dāng)時(shí)命題成立即 當(dāng)時(shí)因?yàn)? 又 于是 因?yàn)樗? 又因?yàn)楣式獾? 或 所以時(shí)命題也成立從而對(duì)任意自然數(shù)命題成立 3 設(shè)是關(guān)于自然數(shù)的命題若對(duì)無限多個(gè)自然數(shù)成立假設(shè)成立可推出成立則命題一切自然數(shù)都成立已知是定義在上又在上取值的函數(shù)并且 2 對(duì)于任何有當(dāng)時(shí)有求證在上恒成立證明 先證有無限多個(gè)自然數(shù)使得取 是任意自然數(shù) 對(duì)用第一數(shù)學(xué)歸納法證明1由條件可知當(dāng)時(shí)公式成立2考慮情形時(shí)由可見公式對(duì)成立這就證明了有無限多個(gè)自然數(shù)使得再證若則由得另一方面由條件 3 可得比較公式得 這便完成了反向歸納法從而對(duì)一切自然數(shù)都成立總之?dāng)?shù)學(xué)歸納法原理還隱含著許多變著這便使得數(shù)學(xué)歸納法在證題中發(fā)揮著重要的作用除此之外還有其它其實(shí)的數(shù)學(xué)歸納法如蹺蹺板數(shù)學(xué)歸納法雙重?cái)?shù)學(xué)歸納法13 數(shù)學(xué)歸納法的步驟 數(shù)學(xué)歸納法的步驟 在高中階段我們把數(shù)學(xué)歸納法的步驟分為三步但是從實(shí)質(zhì)上來說數(shù)學(xué)歸納法也可以分為兩個(gè)步驟1當(dāng)時(shí)這個(gè)命題是正確的2假設(shè)當(dāng)時(shí)這個(gè)命題是正確的3證明當(dāng)時(shí)這個(gè)命題也是正確的
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