畢業(yè)論文-數(shù)學(xué)歸納法及其在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用(編輯修改稿)
2025-05-04 02:53 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 等又因為對頂角相等所以等量代換圖1 平行相交 數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法是數(shù)學(xué)中最基本也是最重要的方法之一它在數(shù)學(xué)各個分支里都有廣泛應(yīng)用該方法早期叫逐次歸納法始見于英國數(shù)學(xué)家得摩根18061871或完全歸納法始見于德國數(shù)學(xué)家戴德金18311916但后來人們更喜歡用數(shù)學(xué)歸納法的名稱因為它更能體現(xiàn)論證的嚴(yán)格性和科學(xué)性而不與邏輯學(xué)中的歸納法混淆數(shù)學(xué)上最早使用數(shù)學(xué)歸納法的人首推法國數(shù)學(xué)家帕斯卡16231662但他并未確立方法的理論依據(jù)直到意大利數(shù)學(xué)家皮亞諾Peano18551932[2][3]12 數(shù)學(xué)歸納法的基本原理及其其它形式 數(shù)學(xué)歸納法的基本原理 在了解數(shù)學(xué)歸納法的基本原理前我們不妨先來回想一下小時候?qū)φ麛?shù)的認識過程首先父母叫我們數(shù)后來數(shù)有必有每一個正整數(shù)后面都有一個正整數(shù)于是我們說會數(shù)數(shù)了事實上數(shù)學(xué)歸納法正是基于這樣一個簡單原理數(shù)學(xué)歸納法來源于皮亞諾自然公理自然數(shù)有以下性質(zhì) 1 是自然數(shù) 2 每一個確定的自然數(shù)都有一個確定的隨從也是自然數(shù) 3 非隨從即 4 一個數(shù)只能是某一個數(shù)的隨從或者根本不是隨從即由一定能推得 5 任意一個自然數(shù)的集合如果包含并且假設(shè)包含也一定包含的隨從那么這個集合包含所有的自然數(shù)后來因為把也作為自然數(shù)所以公理中的要換成 其中的性質(zhì) 5 是數(shù)學(xué)歸納法的根據(jù)有了這一原理就有了數(shù)學(xué)歸納法設(shè)是與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題如果 1 命題當(dāng)時正確即正確 2 在假設(shè)正確的前提下可以證明命題也正確那么命題對任意正整數(shù)都是正確的數(shù)學(xué)歸納法的正確性驗證是根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的原理能否完成對與自然數(shù)有關(guān)命題的無限次論證即數(shù)學(xué)歸納法是否可靠下面我將結(jié)合正整數(shù)最小原理即任何非空正整數(shù)集合一定含有最小數(shù)來驗證數(shù)學(xué)歸納法是否正確命題任何非空正整數(shù)集合一定含有最小數(shù)證明在這集合里任意取一個數(shù)大于的不必討論了我們需要討論的是那些不大于n1 不一定從開始也就是數(shù)學(xué)歸納法里的兩句話可以改成如果當(dāng)?shù)臅r候這個命題是正確的又從假設(shè)當(dāng)時這個命題是正確的可以推出當(dāng)時這個命題也是正確的那么這個命題時都正確這是第一數(shù)學(xué)歸納法的變著也叫做跳躍數(shù)學(xué)歸納法求證邊形個內(nèi)角的和等于這里就要假定 證明當(dāng)時我們知道三角形三個內(nèi)角的和是所以當(dāng)時命題是正確的假設(shè)當(dāng)時命題也是正確的設(shè)是邊形的頂點做線段它把這個邊形分成兩個圖形一個是邊形另一個是三角形并且邊形內(nèi)角的和等于后面兩個圖形的內(nèi)角和的和就是也就是說當(dāng)時這個命題也是正確的因此定理得證 2第二句話也可以改為如果當(dāng)適合于時命題正確那么當(dāng)時命題也正確由此同樣可以證明對于所有命題都正確這種屬于第二數(shù)學(xué)歸納法的變著我們知道對于任意自然數(shù)有反之若且有成立嗎證明當(dāng)時由及得命題成立 假設(shè)當(dāng)時命題成立即 當(dāng)時因為 又 于是 因為所以 又因為故解得 或 所以時命題也成立從而對任意自然數(shù)命題成立 3 設(shè)是關(guān)于自然數(shù)的命題若對無限多個自然數(shù)成立假設(shè)成立可推出成立則命題一切自然數(shù)都成立已知是定義在上又在上取值的函數(shù)并且 2 對于任何有當(dāng)時有求證在上恒成立證明 先證有無限多個自然數(shù)使得取 是任意自然數(shù) 對用第一數(shù)學(xué)歸納法證明1由條件可知當(dāng)時公式成立2考慮情形時由可見公式對成立這就證明了有無限多個自然數(shù)使得再證若則由得另一方面由條件 3 可得比較公式得 這便完成了反向歸納法從而對一切自然數(shù)都成立總之?dāng)?shù)學(xué)歸納法原理還隱含著許多變著這便使得數(shù)學(xué)歸納法在證題中發(fā)揮著重要的作用除此之外還有其它其實的數(shù)學(xué)歸納法如蹺蹺板數(shù)學(xué)歸納法雙重數(shù)學(xué)歸納法13 數(shù)學(xué)歸納法的步驟 數(shù)學(xué)歸納法的步驟 在高中階段我們把數(shù)學(xué)歸納法的步驟分為三步但是從實質(zhì)上來說數(shù)學(xué)歸納法也可以分為兩個步驟1當(dāng)時這個命題是正確的2假設(shè)當(dāng)時這個命題是正確的3證明當(dāng)時這個命題也是正確的
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