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正文內(nèi)容

數(shù)學(xué)教育-淺談反例在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用(編輯修改稿)

2025-01-12 09:06 本頁面
 

【文章內(nèi)容簡介】 常常只注意到定理的結(jié)論,而對定理的前提條件,即該公式的使用范圍,往往給忽略掉,因而經(jīng)常出錯(cuò) .單靠老師提醒,還不足以引起學(xué)生的重視,有時(shí)舉一個(gè)反例就能取得良好的效果 . 如,求拋物線 xy 42? 的切線,且切線過點(diǎn) )( 1,1 ,求此時(shí)切線方程? 有同學(xué)解答如下:“ pxy 22? 因?yàn)檫^點(diǎn) ), 00 yx( 的切線方程為 )(. 00 xxpyy ?? ,此時(shí) 1,1,2 00 ??? yxp代人即得切線方程: 22 ?? xy ”,對不對呢?畫出圖形來就可知道不相切 .知道這是為什么嗎?原來應(yīng)用切線公 式必須有一個(gè)前提條件,即點(diǎn)( 0,0yx )必須是拋物線上的點(diǎn),而這里點(diǎn) ),( 11 不是拋物線 xy 42? 上的點(diǎn),故不能用此公式 .此反例也告訴我們在使用公式時(shí),必須注意公式的適用范圍,不可亂用 .這樣就會使學(xué)生印象深刻,從而以后防止類似問題發(fā)生 . 在教學(xué)中適當(dāng)舉出反例,對幫助學(xué)生理解定理、概 念、方法掌握有著良好的作用;同時(shí)也能提高學(xué)生的思維品質(zhì),學(xué)會遇到類似問題時(shí)舉反例解題 .正如數(shù)學(xué)家維奧拉說過:“反例可以檢驗(yàn)?zāi)闶欠褚呀?jīng)正確而深入地了解了數(shù)學(xué)的真諦,還可以鍛煉你的智力,并將你的判斷和推理嚴(yán)格地約束在一種秩序中 .” 由于反例在否定一個(gè)命題時(shí)具有獨(dú)特的作用,因此在數(shù)學(xué)教學(xué)中,若能充分利用反例,在講述概念及定理應(yīng)用以及解答一些數(shù)學(xué)問題時(shí),就可以收到事半功倍的效果 .在教學(xué)過程中,經(jīng)常見到許多學(xué)生通過類比、推廣等方法得到一些錯(cuò)誤的結(jié)論,要否定這些謬論,反例是一種有力的武 器 . 例 6 命題“ cba, ”是三角形的三邊,由 cba ?? ,推出 cba 222 ?? 是否正確? 舉一個(gè)反例:若 a 的對角為直角,則有 cba 222 ?? ,這與原命題的結(jié)論不一致,所以原命題不是真命題 . 例 7 命題“正比例函數(shù)的函數(shù)值隨著自變量的增大而增大”是否正確? 舉一個(gè)反例:若有反比例函數(shù) xy ?? ,則函數(shù)值隨著自變量的增大而減小,所以命題不是真命題 . 因此,否定一個(gè)命題的最佳途徑是構(gòu)造出一個(gè)反例 .反例是否定一個(gè)命題的有力武器,是判斷命題真?zhèn)蔚脑嚱鹗?.一個(gè)似真似假的命題,只要利用反例就能很快辨出命題真假 . 反例在辨析、糾正錯(cuò)誤時(shí)的應(yīng)用 學(xué)習(xí)過程是一個(gè)知識不斷積累的過程,同時(shí)也是不斷發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤,改正錯(cuò)誤的過程.反例在辨析錯(cuò)誤中具有直觀、明顯、說服力強(qiáng)等特點(diǎn).通過反例教學(xué),不但可以發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)中的錯(cuò)誤和漏洞,而且可以從反例中修補(bǔ)有關(guān)知識,從而獲得正確的結(jié)論或解答. 例 8 學(xué)習(xí)反函數(shù)后,有這樣一個(gè)性質(zhì):函數(shù) )(xfy? 的圖象與其反函數(shù) )(1 xfy ?? 的圖像關(guān)于直線xy? 對稱,因此就有同學(xué)認(rèn)為:函數(shù)與其反函數(shù)圖像的交點(diǎn)在直線 xy? 上 ? 事實(shí)上,舉一個(gè)簡單的反例就可說明此結(jié)論是錯(cuò)誤的 ,如: xy 1? 的反函數(shù)仍是 xy 1? ,這兩圖像是重合的,當(dāng)然有無數(shù)的交點(diǎn)而且只有 )1,1( , ),( 11 兩點(diǎn)在直線 xy? 上,其余都不在此直線上 . 例 9:當(dāng)同學(xué)看到函數(shù)“ 02 ??yx ”時(shí),要求 yx, 的值,則很多同學(xué)會直接得出 0??yx ,這結(jié)論正確嗎? 事實(shí)上,我們?nèi)?2,1 ??? yx ,則 02)1(22 ?????? yx ,即 2,1 ??? yx 也是正確的,但 2,1 ??? yx不具備命題的結(jié)論 .所以此命題是假的 . 反例在克服思維定勢、抑制負(fù)遷移時(shí)的應(yīng)用 舉反例可直接促進(jìn)數(shù)學(xué)新概念、新定理與新理論的形成和發(fā)展.在教學(xué)過程中,學(xué)生在教師習(xí)慣性程序的影響下容易形成固定的思維模式,即定勢.思維定勢會產(chǎn)生“墨守成規(guī)”、“機(jī)械記憶”等負(fù)面效應(yīng),此時(shí)求異的反例恰恰是解決這一弊端的得力方法]4[. 例 10 教二次函數(shù)時(shí),關(guān)于切線問題得出這樣的結(jié)論:過一點(diǎn)與拋物相切的直線不再與直線相交 .當(dāng)然此結(jié)論是正確的,在后來教曲線方程時(shí)學(xué)生由于受此影響,形成了思維定勢,得出如下結(jié)論:過一點(diǎn)與曲線相切的直線一定不再與曲線相交,可舉反例說明這個(gè)結(jié)論是不正確的 . 如:求曲線 C: 3xy? 過點(diǎn) )( 8,2 的切線的方程 .錯(cuò)誤解法是將 ),( 82 誤認(rèn)為切點(diǎn)從而求得方程 .實(shí)際上,設(shè)切點(diǎn)為 ),( 00 yxp 因?yàn)?239。 3)( xxfk ?? ,則 p 處的切線方程為: )(3 020 xxxyy ??? ,又因?yàn)辄c(diǎn) )( 8,2 在切線方程上,于是有 )0200 2(3y8 xx ?? ( 1), p 在曲線 c 上,將 300 xy ? 代入( 1)式得 )2(38 02030 xxx ???解出 20?x ,或 10 ??x .當(dāng) 20?x
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