數(shù)學(xué)教育-淺談反例在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用(編輯修改稿)
2025-01-12 09:06 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 常常只注意到定理的結(jié)論，而對定理的前提條件，即該公式的使用范圍，往往給忽略掉，因而經(jīng)常出錯(cuò) .單靠老師提醒，還不足以引起學(xué)生的重視，有時(shí)舉一個(gè)反例就能取得良好的效果 . 如，求拋物線 xy 42? 的切線，且切線過點(diǎn) ）（ 1,1 ，求此時(shí)切線方程？ 有同學(xué)解答如下：“ pxy 22? 因?yàn)檫^點(diǎn) ), 00 yx（ 的切線方程為 )(. 00 xxpyy ?? ，此時(shí) 1,1,2 00 ??? yxp代人即得切線方程： 22 ?? xy ”，對不對呢？畫出圖形來就可知道不相切 .知道這是為什么嗎？原來應(yīng)用切線公 式必須有一個(gè)前提條件，即點(diǎn)（ 0,0yx ）必須是拋物線上的點(diǎn)，而這里點(diǎn) ），（ 11 不是拋物線 xy 42? 上的點(diǎn)，故不能用此公式 .此反例也告訴我們在使用公式時(shí)，必須注意公式的適用范圍，不可亂用 .這樣就會使學(xué)生印象深刻，從而以后防止類似問題發(fā)生 . 在教學(xué)中適當(dāng)舉出反例，對幫助學(xué)生理解定理、概 念、方法掌握有著良好的作用；同時(shí)也能提高學(xué)生的思維品質(zhì)，學(xué)會遇到類似問題時(shí)舉反例解題 .正如數(shù)學(xué)家維奧拉說過：“反例可以檢驗(yàn)?zāi)闶欠褚呀?jīng)正確而深入地了解了數(shù)學(xué)的真諦，還可以鍛煉你的智力，并將你的判斷和推理嚴(yán)格地約束在一種秩序中 .” 由于反例在否定一個(gè)命題時(shí)具有獨(dú)特的作用，因此在數(shù)學(xué)教學(xué)中，若能充分利用反例，在講述概念及定理應(yīng)用以及解答一些數(shù)學(xué)問題時(shí)，就可以收到事半功倍的效果 .在教學(xué)過程中，經(jīng)常見到許多學(xué)生通過類比、推廣等方法得到一些錯(cuò)誤的結(jié)論，要否定這些謬論，反例是一種有力的武 器 . 例 6 命題“ cba, ”是三角形的三邊，由 cba ?? ，推出 cba 222 ?? 是否正確？ 舉一個(gè)反例：若 a 的對角為直角，則有 cba 222 ?? ，這與原命題的結(jié)論不一致，所以原命題不是真命題 . 例 7 命題“正比例函數(shù)的函數(shù)值隨著自變量的增大而增大”是否正確？ 舉一個(gè)反例：若有反比例函數(shù) xy ?? ，則函數(shù)值隨著自變量的增大而減小，所以命題不是真命題 . 因此，否定一個(gè)命題的最佳途徑是構(gòu)造出一個(gè)反例 .反例是否定一個(gè)命題的有力武器，是判斷命題真?zhèn)蔚脑嚱鹗?.一個(gè)似真似假的命題，只要利用反例就能很快辨出命題真假 . 反例在辨析、糾正錯(cuò)誤時(shí)的應(yīng)用 學(xué)習(xí)過程是一個(gè)知識不斷積累的過程，同時(shí)也是不斷發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤，改正錯(cuò)誤的過程．反例在辨析錯(cuò)誤中具有直觀、明顯、說服力強(qiáng)等特點(diǎn)．通過反例教學(xué)，不但可以發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)中的錯(cuò)誤和漏洞，而且可以從反例中修補(bǔ)有關(guān)知識，從而獲得正確的結(jié)論或解答． 例 8 學(xué)習(xí)反函數(shù)后，有這樣一個(gè)性質(zhì)：函數(shù) )(xfy? 的圖象與其反函數(shù) )(1 xfy ?? 的圖像關(guān)于直線xy? 對稱，因此就有同學(xué)認(rèn)為：函數(shù)與其反函數(shù)圖像的交點(diǎn)在直線 xy? 上 ? 事實(shí)上，舉一個(gè)簡單的反例就可說明此結(jié)論是錯(cuò)誤的 ,如： xy 1? 的反函數(shù)仍是 xy 1? ，這兩圖像是重合的，當(dāng)然有無數(shù)的交點(diǎn)而且只有 )1,1( ， ），（ 11 兩點(diǎn)在直線 xy? 上，其余都不在此直線上 . 例 9：當(dāng)同學(xué)看到函數(shù)“ 02 ??yx ”時(shí)，要求 yx, 的值，則很多同學(xué)會直接得出 0??yx ，這結(jié)論正確嗎？ 事實(shí)上，我們?nèi)?2,1 ??? yx ，則 02)1(22 ?????? yx ，即 2,1 ??? yx 也是正確的，但 2,1 ??? yx不具備命題的結(jié)論 .所以此命題是假的 . 反例在克服思維定勢、抑制負(fù)遷移時(shí)的應(yīng)用 舉反例可直接促進(jìn)數(shù)學(xué)新概念、新定理與新理論的形成和發(fā)展．在教學(xué)過程中，學(xué)生在教師習(xí)慣性程序的影響下容易形成固定的思維模式，即定勢．思維定勢會產(chǎn)生“墨守成規(guī)”、“機(jī)械記憶”等負(fù)面效應(yīng)，此時(shí)求異的反例恰恰是解決這一弊端的得力方法]4[． 例 10 教二次函數(shù)時(shí)，關(guān)于切線問題得出這樣的結(jié)論：過一點(diǎn)與拋物相切的直線不再與直線相交 .當(dāng)然此結(jié)論是正確的，在后來教曲線方程時(shí)學(xué)生由于受此影響，形成了思維定勢，得出如下結(jié)論：過一點(diǎn)與曲線相切的直線一定不再與曲線相交，可舉反例說明這個(gè)結(jié)論是不正確的 . 如：求曲線 C： 3xy? 過點(diǎn) ）（ 8,2 的切線的方程 .錯(cuò)誤解法是將 ），（ 82 誤認(rèn)為切點(diǎn)從而求得方程 .實(shí)際上，設(shè)切點(diǎn)為 ),( 00 yxp 因?yàn)?239。 3)( xxfk ?? ，則 p 處的切線方程為： )(3 020 xxxyy ??? ，又因?yàn)辄c(diǎn) ）（ 8,2 在切線方程上，于是有 ）0200 2(3y8 xx ?? （ 1）， p 在曲線 c 上，將 300 xy ? 代入（ 1）式得 )2(38 02030 xxx ???解出 20?x ，或 10 ??x .當(dāng) 20?x
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